Mulțimea numerelor reale. Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă a numerelor reale

1. Se consideră mulțimea A = { −5; 0; 3/4; √16; −√7; 2,(3); π; √12; −1,5 }. Scrie elementele mulțimilor: a) A ∩ ℕ; b) A ∩ ℤ; c) A ∩ ℚ; d) A ∩ (ℝ \ ℚ). Justifică pe scurt de ce √16 este număr natural și de ce √12 este număr irațional.

2. Stabilește care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate și care sunt false. Justifică fiecare răspuns: a) −3 ∈ ℕ; b) √25 ∈ ℤ; c) √8 ∈ ℚ; d) ℤ ⊂ ℚ; e) 0,(6) ∈ ℝ \ ℚ; f) −√49 ∈ ℤ.

3. Încadrează fiecare dintre numerele reale următoare între două numere întregi consecutive: a) √30; b) −√50; c) √90; d) 17/4; e) −√3. Explică metoda folosită pentru radicali.

4. Calculează modulul fiecărui număr: a) |−7|; b) |√5|; c) |−√11|; d) |−2/3|; e) |3 − √10|; f) |2,5 − √6|. La punctele e) și f), stabilește mai întâi semnul numărului din interiorul modulului. Folosește pentru aceasta compararea pătratelor.

5. Fără să folosești minicalculatorul, aproximează numărul √13 prin lipsă și prin adaos: a) la ordinul zecimilor; b) la ordinul sutimilor. Justifică fiecare aproximare prin ridicarea la pătrat a numerelor găsite. Precizează apoi între ce numere întregi consecutive se află punctul corespunzător lui √13 pe axa numerelor.

6. Ordonează crescător numerele reale: −3,2; −√10; 2√2; 3; √7; −3. Explică cum ai comparat −√10 cu −3,2 și 2√2 cu 3.

7. Pe o foaie de caiet cu pătrățele, unitatea de măsură pe axa numerelor este latura unui pătrățel. Descrie cum poți reprezenta exact pe axă numerele √5 și −√5. Folosește un dreptunghi cu un vârf în origine, ca în construcția din lecție. Reprezintă apoi pe aceeași axă și numerele −1,5 și 2. Precizează ce relație există între punctele corespunzătoare lui √5 și −√5.

8. a) Determină numerele reale x pentru care |x| = √6. b) Determină toate numerele întregi x pentru care |x| < √20 și precizează câte sunt. c) Scrie două numere iraționale cuprinse între −5 și −4. Justifică alegerea făcută.