Criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice

1. Enunță cele patru criterii de congruență a triunghiurilor dreptunghice (CC, CU, IC, IU). Explică de ce, la triunghiurile dreptunghice, sunt suficiente doar două perechi de elemente congruente, dintre care cel puțin o pereche de laturi.

2. Se consideră triunghiurile dreptunghice ABC, cu m(∢A) = 90°, și DEF, cu m(∢D) = 90°. Pentru fiecare situație de mai jos, scrie criteriul prin care se poate demonstra că △ABC ≡ △DEF. a) AB ≡ DE și AC ≡ DF; b) BC ≡ EF și ∢B ≡ ∢E; c) BC ≡ EF și AB ≡ DE; d) AB ≡ DE și ∢B ≡ ∢E; e) AC ≡ DF și ∢B ≡ ∢E.

3. În triunghiul isoscel ABC, cu AB ≡ AC, se construiesc BD ⊥ AC (D ∈ AC) și CE ⊥ AB (E ∈ AB). Demonstrează că △ABD ≡ △ACE. Precizează criteriul folosit și scrie toate etapele raționamentului.

4. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm și m(∢C) = 23°. Triunghiul MNP este dreptunghic în M, cu MN = 5 cm și NP = 13 cm. a) Arată că △ABC ≡ △MNP și numește criteriul folosit. b) Calculează lungimea laturii MP și perimetrul triunghiului MNP. c) Calculează măsura unghiului N.

5. Punctul O este mijlocul segmentului AB. În punctele A și B se construiesc perpendicularele pe dreapta AB. O dreaptă care trece prin O intersectează perpendiculara din A în punctul C și perpendiculara din B în punctul D (C și D se află de o parte și de alta a dreptei AB). a) Demonstrează că △OAC ≡ △OBD și precizează criteriul folosit. b) Știind că AC = 4 cm și OC = 5 cm, calculează BD și OD.

6. Punctul P aparține bisectoarei unghiului ascuțit XOY. Se construiesc PA ⊥ OX (A ∈ OX) și PB ⊥ OY (B ∈ OY). a) Demonstrează că △OAP ≡ △OBP și precizează criteriul folosit. b) Deduce că PA ≡ PB și OA ≡ OB. c) Știind că OA = 7 cm și PA = 3 cm, calculează perimetrul patrulaterului OAPB.

7. Doi stâlpi verticali, de aceeași înălțime, de 6 m, sunt fixați pe un teren plan. De vârful fiecărui stâlp este legat câte un cablu întins, de 10 m, prins de pământ. Primul cablu este prins la 8 m de baza primului stâlp. a) Desenează situația, notează punctele și transpune-o în limbaj geometric (ce triunghiuri se formează și ce fel de triunghiuri sunt). b) Demonstrează că și al doilea cablu este prins la 8 m de baza celui de-al doilea stâlp. Precizează criteriul de congruență folosit. c) Calculează lungimea totală a cablului folosit pentru ambii stâlpi.

8. Andrei afirmă: „Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte un unghi ascuțit respectiv congruent, atunci ele sunt congruente.” Este adevărată afirmația lui Andrei? Justifică răspunsul printr-un exemplu sau un contraexemplu, apoi completează afirmația astfel încât să devină adevărată.