Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice

1. Triunghiurile ABC și DEF sunt dreptunghice, cu ∢A = ∢D = 90°. Pentru fiecare caz de mai jos, precizați dacă datele sunt suficiente pentru a afirma că ∆ABC ≡ ∆DEF. Dacă sunt suficiente, scrieți criteriul folosit (CC, CU, IC sau IU). Dacă nu sunt suficiente, explicați de ce. a) AB = DE = 6 cm și AC = DF = 8 cm; b) BC = EF = 10 cm și ∢B = ∢E = 35°; c) AB = DE = 5 cm și ∢B = ∢E = 50°; d) BC = EF = 13 cm și AC = DF = 12 cm; e) AC = DF = 4 cm și ∢B = ∢E = 40°; f) ∢B = ∢E = 30° și ∢C = ∢F = 60°.

2. Andrei afirmă: „Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte un unghi ascuțit de 45°, atunci ele sunt congruente.” Are dreptate Andrei? Justificați răspunsul. Dați un exemplu de două triunghiuri dreptunghice care au un unghi ascuțit de 45° și nu sunt congruente. Precizați ce element ar mai trebui cunoscut ca triunghiurile să fie congruente.

3. Triunghiurile MNP și RST sunt dreptunghice, cu ∢M = ∢R = 90°. Se știe că MN = RS = 4 cm, NP = ST = 5 cm și MP = 3 cm. a) Demonstrați că ∆MNP ≡ ∆RST și precizați criteriul de congruență folosit. b) Aflați lungimea segmentului RT. c) Calculați perimetrul triunghiului RST.

4. Unghiul xOy are măsura de 70°, iar punctul P se află pe bisectoarea sa. Se construiesc PA ⊥ Ox, A ∈ Ox, și PB ⊥ Oy, B ∈ Oy. a) Demonstrați că ∆OAP ≡ ∆OBP și precizați criteriul de congruență folosit. b) Știind că OA = 6 cm, aflați lungimea segmentului OB. c) Calculați măsura unghiului APO.

5. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB ≡ AC, iar AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Demonstrați, folosind criteriul IC, că ∆ADB ≡ ∆ADC. b) Știind că BC = 14 cm, calculați lungimea segmentului BD. c) Demonstrați că AD este bisectoarea unghiului BAC.

6. Punctul O este mijlocul segmentului AB. Pe perpendicularele în A și în B pe dreapta AB se iau punctele C, respectiv D, de o parte și de alta a dreptei AB, astfel încât AC ≡ BD. a) Demonstrați că ∆OAC ≡ ∆OBD. b) Deduceți că OC ≡ OD și ∢ACO ≡ ∢BDO. c) Explicați de ce dreptele AC și BD sunt paralele.

7. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB ≡ AC. Se construiesc înălțimile BE ⊥ AC, E ∈ AC, și CF ⊥ AB, F ∈ AB. a) Demonstrați că ∆BFC ≡ ∆CEB și precizați criteriul de congruență folosit. b) Deduceți că înălțimile BE și CF sunt congruente.

8. Un stâlp vertical AB, cu baza B pe sol orizontal, este susținut de două cabluri întinse, AC și AD, fixate în punctele C și D de pe sol. Punctele C și D se află la câte 3 m de baza stâlpului: BC = BD = 3 m. a) Reprezentați situația printr-un desen geometric și precizați ce unghiuri drepte apar. b) Demonstrați că cele două cabluri au aceeași lungime și precizați criteriul de congruență folosit. c) Știind că un cablu are 5 m, calculați lungimea totală a cablurilor folosite. d) Un alt stâlp este susținut tot de două cabluri de lungimi egale. Demonstrați că punctele de fixare ale cablurilor pe sol se află la aceeași distanță de baza stâlpului.