Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi și de pe mediatoarea unui segment
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie unghiul xOy cu măsura de 80° și M un punct situat pe bisectoarea acestuia. Notăm cu P piciorul perpendicularei din M pe Ox și cu Q piciorul perpendicularei din M pe Oy. Se știe că MP = 4,5 cm. a) Aflați lungimea segmentului MQ. Justificați răspunsul folosind proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi. b) Calculați măsura unghiului PMO și măsura unghiului PMQ.
2. Punctul P este situat pe mediatoarea segmentului AB și nu aparține dreptei AB. Se știe că AB = 10 cm și PA = 7 cm. a) Aflați lungimea segmentului PB. Justificați. b) Calculați perimetrul triunghiului PAB. c) Precizați ce fel de triunghi este triunghiul PAB, după lungimile laturilor.
3. Unghiul AOB are măsura de 70°. Punctul N este situat în interiorul unghiului AOB, la distanța de 3 cm față de dreapta OA și la distanța de 3 cm față de dreapta OB. a) Explicați de ce punctul N se află pe bisectoarea unghiului AOB. b) Calculați măsura unghiului AON.
4. În triunghiul ABC avem AB = 8 cm și AC = 11 cm. Mediatoarea laturii BC intersectează latura AC în punctul D. a) Demonstrați că DB = DC. b) Calculați perimetrul triunghiului ABD.
5. Punctele distincte C și D sunt situate de o parte și de alta a dreptei AB, astfel încât CA ≡ CB și DA ≡ DB. Demonstrați că dreapta CD este mediatoarea segmentului AB. Redactați rezolvarea, precizând proprietatea folosită.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic, cu ∢BAC = 90°. Bisectoarea unghiului ABC intersectează latura AC în punctul D, iar E este piciorul perpendicularei din D pe BC. Se știe că AD = 3 cm și DC = 5 cm. a) Aflați lungimea segmentului DE. Justificați. b) Demonstrați că triunghiurile BAD și BED sunt congruente, precizând cazul de congruență folosit. c) Deduceți că BA ≡ BE.
7. În triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor BAC și ABC se intersectează în punctul I. Distanța de la punctul I la latura AB este de 2 cm. a) Aflați distanța de la punctul I la latura AC și distanța de la punctul I la latura BC. Justificați fiecare răspuns. b) Explicați de ce punctul I se află și pe bisectoarea unghiului ACB.
8. Trei case, notate A, B și C, nu sunt situate pe aceeași dreaptă. Primăria dorește să amplaseze o fântână F, astfel încât aceasta să se afle la aceeași distanță de toate cele trei case. a) Explicați, folosind noțiunea de mediatoare, cum se poate determina locul fântânii. b) Știind că distanța de la fântână la casa A este de 120 m, aflați distanțele de la fântână la casele B și C. c) Justificați de ce există un singur astfel de punct.