Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale – Recapitulare și completări
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Folosind definiția divizibilității (a ⋮ b dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c), demonstrați că: a) numărul 195 este divizibil cu 13; b) numărul 98 nu este divizibil cu 4; c) numărul 8 divide numărul 136; d) 84 este multiplu al numărului 21; e) 9 nu este divizor al numărului 120.
2. Notăm cu Dn mulțimea divizorilor numărului natural n și cu Mn mulțimea multiplilor numărului natural n. a) Scrieți prin enumerarea elementelor mulțimile D20, D21 și D29. b) Scrieți mulțimea M9, evidențiind cele mai mici patru elemente ale ei. c) Precizați divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 20. d) Precizați care dintre mulțimile D20 și M9 este finită și care este infinită.
3. Considerăm mulțimea A = {12, 15, 18, 20, 25, 27, 30, 35, 42, 45}. a) Scrieți submulțimea B = A ∩ M2, formată din elementele lui A divizibile cu 2. b) Scrieți submulțimea C = A ∩ M3, formată din elementele lui A divizibile cu 3. c) Folosind rezultatele de la a) și b), scrieți submulțimea D a elementelor lui A divizibile cu 6. Justificați. d) Scrieți submulțimea E a elementelor lui A divizibile cu cel puțin unul dintre numerele 2 sau 3.
4. Fie mulțimea M = {0, 1, 2, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 31, 39, 51}. a) Scrieți mulțimea P a numerelor prime care aparțin mulțimii M. b) Scrieți mulțimea C a numerelor compuse care aparțin mulțimii M. Pentru fiecare număr compus, indicați un divizor propriu. c) Precizați elementele lui M care nu sunt nici numere prime, nici numere compuse.
5. Determinați numărul natural n în fiecare dintre situațiile de mai jos: a) n este divizor propriu al numărului 26 și n este număr par; b) n + 3 este multiplu al lui 8 și n < 20; c) 2n + 1 este divizor impropriu al numărului 45.
6. O învățătoare are 84 de creioane pe care vrea să le împartă în mod egal unor copii, fără să rămână niciun creion. a) Precizați, justificând, dacă poate împărți creioanele în mod egal la 5 copii. b) Determinați toate numerele posibile de copii, știind că sunt cel puțin 2 copii și cel mult 30 de copii. Scrieți rezolvarea folosind mulțimea divizorilor lui 84.
7. a) Determinați două numere prime a căror sumă este 75. Justificați de ce nu există altă soluție. b) Arătați că nu există două numere prime a căror sumă să fie 37.
8. a) Folosind proprietatea „dacă p este număr prim, p | a și p² ∤ a, atunci a nu este pătrat perfect”, arătați că numărul 600 nu este pătrat perfect. Verificați rezultatul încadrând 600 între două pătrate perfecte consecutive. b) Arătați că numărul b = 11 + 11² + 11³ este număr compus și determinați toate numerele prime care sunt divizori ai lui b.