Drepte paralele. Axioma paralelelor

1. Completați spațiile libere, astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) Două drepte dintr-un plan care nu au niciun punct comun se numesc drepte ............... . b) Două drepte care au un singur punct comun se numesc drepte ............... sau ............... . c) Dacă dreptele m și n sunt paralele, scriem în limbaj simbolic: m ...... n și m ∩ n = ...... . d) Dacă dreptele p și q se intersectează în punctul O, scriem: p ...... q și p ∩ q = ...... .

2. Pentru fiecare dintre situațiile de mai jos, precizați dacă dreptele sugerate sunt paralele sau concurente: a) marginile de sus și de jos ale unei foi de hârtie dreptunghiulare; b) cele două ace ale unui ceas, la ora 3:00; c) două rânduri vecine ale unui caiet dictando; d) două străzi care se întâlnesc într-o intersecție; e) treptele (muchiile) a două trepte vecine ale unei scări drepte.

3. Mihai vrea să construiască, folosind rigla și echerul, dreapta d', paralelă cu dreapta d, prin punctul A, exterior dreptei d. Pașii lui au fost amestecați: (1) Cu echerul în noua poziție, trasează dreapta care trece prin punctul A. (2) Așază echerul astfel încât una dintre laturile lui să se suprapună peste dreapta d. (3) Notează dreapta obținută cu d'. (4) Sprijină rigla de altă latură a echerului și alunecă echerul de-a lungul riglei nemișcate, până când latura care era pe dreapta d trece prin punctul A. Scrieți pașii în ordinea corectă. Apoi notați, în limbaj simbolic, relațiile dintre d', d și A.

4. Andrei afirmă: „Prin punctul P, exterior dreptei d, am construit dreptele x și y, distincte, ambele paralele cu dreapta d.” Este corectă afirmația lui Andrei? Justificați răspunsul, enunțând rezultatul matematic pe care vă bazați.

5. Fie dreptele distincte d1, d2, d3 și d4, astfel încât d1 ∥ d2, d2 ∥ d3 și d3 ∥ d4. Stabiliți poziția relativă a dreptelor d1 și d4. Scrieți raționamentul pas cu pas și precizați teorema folosită la fiecare pas.

6. Fie dreptunghiul ABCD, în care AB ∥ CD și AD ∥ BC. Punctul E este situat în exteriorul dreptunghiului, astfel încât CE ∥ AB. Demonstrați că punctele D, C și E sunt coliniare. Precizați ipoteza, concluzia și rezultatul teoretic folosit.

7. Fie dreptele distincte a, b și c, astfel încât a ∥ b, iar dreapta c intersectează dreapta a în punctul O. Demonstrați că dreptele c și b sunt concurente. (Indicație: presupuneți contrariul și ajungeți la o contradicție cu axioma paralelelor.)

8. Fie dreptele distincte a, b, c și d, astfel încât a ∥ b, b ∥ c și c ∥ d. Punctul M aparține dreptei a. a) Stabiliți poziția relativă a dreptelor a și d. b) Câte drepte paralele cu dreapta d trec prin punctul M? Care este această dreaptă? Justificați răspunsul.