Drepte paralele. Axioma paralelelor

1. Precizează dacă fiecare dintre afirmațiile următoare este o definiție, o axiomă sau o teoremă. Justifică pe scurt fiecare alegere. a) Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este egală cu 180°. b) Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă. c) Dacă două unghiuri au același complement, atunci ele sunt congruente. d) Două drepte coplanare care nu au niciun punct comun se numesc drepte paralele.

2. Se dă teorema: „Dacă două unghiuri sunt adiacente și suplementare, atunci bisectoarele lor formează un unghi cu măsura de 90°.” a) Scrie ipoteza teoremei. b) Scrie concluzia teoremei. c) Explică ce înseamnă să demonstrezi această teoremă.

3. a) Explică ce înseamnă că două drepte sunt coplanare și ce înseamnă că două drepte sunt necoplanare. b) Scrie definiția dreptelor paralele. c) Scrie, folosind simbolurile matematice potrivite: „dreapta a este paralelă cu dreapta b”, „punctul M aparține dreptei d”, „dreapta AB este inclusă în planul α”. d) Ana spune: „Două drepte care nu au niciun punct comun sunt întotdeauna paralele.” Are dreptate? Justifică răspunsul.

4. Se consideră cubul ABCDEFGH, în care ABCD este fața de jos, EFGH este fața de sus, iar muchiile AE, BF, CG și DH sunt verticale (E este deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D). Imaginează-ți muchiile prelungite la nesfârșit, ca niște drepte. a) Scrie toate dreptele determinate de muchiile cubului care sunt paralele cu dreapta AB. b) Scrie toate dreptele determinate de muchiile cubului care sunt paralele cu dreapta AE. c) Scrie două drepte determinate de muchiile cubului care sunt concurente cu dreapta AB.

5. În cubul ABCDEFGH descris la itemul 4 (fața de jos ABCD, fața de sus EFGH, cu E deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D), stabilește pentru fiecare pereche de drepte dacă dreptele sunt concurente, paralele sau necoplanare: a) AB și BC; b) AB și GH; c) AE și CD; d) EH și BC; e) DH și BF; f) EF și CG.

6. a) Enunță axioma paralelelor. b) Se consideră o dreaptă d și un punct P care nu aparține dreptei d. Câte drepte paralele cu d trec prin punctul P? c) Se consideră un punct Q situat pe dreapta d. Se poate duce prin Q o dreaptă paralelă cu d, diferită de d? Justifică răspunsul. d) Explică de ce afirmația „Printr-un punct exterior unei drepte trec două drepte paralele cu acea dreaptă” este falsă.

7. În același plan se consideră trei drepte distincte a, b și c, astfel încât a ∥ b și c ∥ b. Demonstrează, folosind axioma paralelelor, că a ∥ c. Indicație: presupune că dreptele a și c ar avea un punct comun M și analizează ce s-ar întâmpla.

8. În același plan se consideră dreptele d₁, d₂ și d₃, astfel încât d₁ ∥ d₂, iar dreapta d₃ intersectează dreapta d₁ în punctul M (d₃ este diferită de d₁). Arată că dreapta d₃ intersectează și dreapta d₂. Redactează complet raționamentul, precizând ipoteza și concluzia.