Înălțimile unui triunghi. Concurența înălțimilor (ortocentrul)

1. Stabiliți dacă fiecare afirmație de mai jos este adevărată sau falsă. Pentru afirmațiile false, scrieți varianta corectă. a) Înălțimea din vârful A a triunghiului ABC este segmentul care unește vârful A cu mijlocul laturii BC. b) Dreptele suport ale celor trei înălțimi ale oricărui triunghi sunt concurente. c) Într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul se află în interiorul triunghiului. d) Într-un triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept.

2. Se consideră triunghiul ABC cu BC = 6 cm, ∢ABC = 40° și ∢ACB = 50°. a) Calculați măsura unghiului BAC și precizați natura triunghiului după unghiuri. b) Fără să construiți înălțimile, stabiliți unde se află ortocentrul H al triunghiului. Justificați. c) Construiți triunghiul cu rigla, raportorul și echerul, trasați cele trei înălțimi și verificați pe desen răspunsul de la punctul b).

3. În triunghiul DEF se cunosc ∢DEF = 48° și ∢DFE = 72°. Segmentul DM este înălțime a triunghiului, M ∈ EF. a) Realizați un desen conform datelor problemei. b) Calculați măsurile unghiurilor EDM și MDF. c) Calculați măsura unghiului EDF și verificați că este egală cu suma ∢EDM + ∢MDF.

4. În triunghiul ABC, ∢BAC = 70°. Pe latura AC se consideră punctul D astfel încât ∢ABD = 20°. Demonstrați că segmentul BD este înălțime a triunghiului ABC. Redactați complet rezolvarea.

5. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, D ∈ BC. Știind că ∢ABC = 35°, calculați măsurile unghiurilor BAD, DAC și ACB. Ce observați despre unghiurile ABC și DAC?

6. În triunghiul ascuțitunghic ABC, ∢BAC = 64°, ∢ABC = 56° și ∢ACB = 60°. Înălțimile BE (E ∈ AC) și CF (F ∈ AB) se intersectează în punctul H. a) Calculați măsura unghiului ABE. b) Calculați măsura unghiului BHF, folosind triunghiul BFH. c) Deduceți măsura unghiului BHC.

7. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. a) Precizați care dintre laturile triunghiului sunt înălțimi ale acestuia. Justificați. b) Aflați distanța de la punctul B la dreapta AC și distanța de la punctul C la dreapta AB. c) Precizați care este ortocentrul triunghiului ABC.

8. În triunghiul ABC, ∢BAC = 110° și ∢ABC = 40°. Fie CN înălțimea din C, unde N este piciorul perpendicularei din C pe dreapta AB. a) Explicați de ce punctul N nu se află pe segmentul AB, ci pe prelungirea acestuia dincolo de A. b) Calculați măsurile unghiurilor NAC și ACN. c) Precizați poziția ortocentrului triunghiului ABC față de triunghi (interior, exterior sau pe o latură). Justificați.