Medianele unui triunghi. Concurența medianelor. Centrul de greutate
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră triunghiul DEF. Copiază și completează spațiile punctate pentru a obține propoziții adevărate: a) Dacă punctul K este mijlocul laturii DF, atunci segmentul EK este … a triunghiului DEF. b) Dacă FL este mediană a triunghiului DEF, atunci punctul L este … laturii … . c) Punctul de intersecție a medianelor triunghiului DEF se numește … al triunghiului și se notează, de regulă, cu litera … . d) Dacă DK este mediană a triunghiului DEF și EF = 18 cm, atunci EK = … cm.
2. În triunghiul ABC, segmentul AM este mediană, cu M ∈ BC. Se știe că BM = (2x + 3) cm și CM = (5x − 6) cm. Află valoarea lui x și calculează lungimea laturii BC. Scrie toate etapele rezolvării.
3. Segmentele AM, BN și CP sunt medianele triunghiului ABC, iar G este centrul de greutate al triunghiului. Calculează: a) lungimile segmentelor AG și GM, dacă AM = 27 cm; b) lungimile segmentelor GN și BN, dacă BG = 16 cm; c) lungimile segmentelor CG și CP, dacă GP = 5 cm.
4. În triunghiul ABC, segmentul AM este mediană. Perimetrul triunghiului ABM este 20 cm, iar perimetrul triunghiului ACM este 24 cm. Știind că AB = 7 cm, calculează lungimea laturii AC. Explică raționamentul.
5. Triunghiul ABC este dreptunghic, cu ∢BAC = 90°, ∢ACB = 30° și ipotenuza BC = 14 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC. a) Calculează lungimea medianei AM, folosind proprietatea medianei corespunzătoare ipotenuzei. b) Demonstrează că triunghiul ABM este echilateral. c) Calculează perimetrul triunghiului ABM.
6. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB ≡ AC. Segmentele BN și CP sunt mediane ale triunghiului (N ∈ AC, P ∈ AB) și se intersectează în punctul G. a) Demonstrează că triunghiurile BPC și CNB sunt congruente. b) Deduce că BN ≡ CP și că triunghiul BGC este isoscel.
7. Segmentele MA și NB sunt mediane ale triunghiului MNP (A ∈ NP, B ∈ MP), iar G este centrul de greutate al triunghiului. Se știe că MA = 36 cm și NB = 30 cm. a) Calculează lungimile segmentelor MG, GA, NG și GB. b) Calculează suma GA + GB și compar-o cu MG.
8. Ioana a decupat dintr-un carton omogen o placă în formă de triunghi ABC și vrea să o sprijine pe vârful unui creion, astfel încât placa să rămână în echilibru, în poziție orizontală. Ea a trasat mediana AM, care are lungimea de 30 cm. a) Cum se numește punctul în care trebuie sprijinită placa și cum poate fi găsit? b) La ce distanță de vârful A, pe mediana AM, se află acest punct? Dar la ce distanță de punctul M? c) Colegul ei spune că placa rămâne în echilibru dacă o sprijină pe AM la 15 cm de vârful A. Are dreptate? Justifică răspunsul.