Mediatoarea unui segment

1. Desenați segmentul AB cu lungimea de 10 cm. Marcați pe segment punctul M astfel încât AM = 5 cm. Trasați dreapta d, perpendiculară pe AB în punctul M. Copiați și completați propozițiile astfel încât să fie adevărate: a) Lungimea segmentului MB este de … cm, deci punctul M este … segmentului AB. b) Unghiul format de dreapta d cu dreapta AB are măsura de …°. c) Dreapta d este … segmentului AB, deoarece este … pe AB și conține … acestuia.

2. Dreapta d este mediatoarea segmentului PQ, cu PQ = 14 cm, iar d ∩ PQ = {O}. Punctul R aparține dreptei d, cu R ≠ O, și RP = 9 cm. a) Calculați lungimea segmentului PO. b) Precizați măsura unghiului ROQ. c) Aflați lungimea segmentului RQ. Justificați răspunsul folosind o proprietate a punctelor de pe mediatoare.

3. Desenați segmentul CD cu lungimea de 8 cm. a) Construiți mediatoarea segmentului CD folosind compasul și rigla negradată. Scrieți, pe pași, cum ați realizat construcția. b) Notați cu E și F punctele de intersecție ale celor două cercuri trasate. Măsurați cu rigla gradată segmentele EC, ED, FC și FD. c) Scrieți ce observați despre lungimile măsurate și explicați de ce se întâmplă acest lucru.

4. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului AB. Lungimile segmentelor sunt TA = (3x + 2) cm și TB = (5x − 6) cm. a) Scrieți relația dintre TA și TB și justificați-o. b) Aflați numărul x. c) Calculați lungimea segmentului TA.

5. Se dă segmentul AB. Punctele K, L și P sunt situate în plan astfel încât: KA = KB = 5 cm, LA = LB = 7 cm, PA = 4 cm și PB = 6 cm. a) Stabiliți care dintre punctele K, L și P aparțin mediatoarei segmentului AB. Justificați fiecare răspuns. b) Explicați de ce dreapta KL este mediatoarea segmentului AB.

6. Punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 4 cm și BC = 10 cm. Fie m1 mediatoarea segmentului AB și m2 mediatoarea segmentului BC, iar m1 ∩ AB = {M} și m2 ∩ BC = {N}. a) Reprezentați geometric situația. b) Calculați lungimea segmentului MN. c) Stabiliți poziția dreptelor m1 și m2 una față de cealaltă. Justificați răspunsul.

7. În triunghiul ABC se cunosc AB = 7 cm și AC = 12 cm. Mediatoarea segmentului BC intersectează latura AC în punctul D. a) Explicați de ce DB = DC. b) Calculați perimetrul triunghiului ABD. Scrieți toate etapele rezolvării.

8. Două case, A și B, se află la distanța de 120 m una de cealaltă. Locuitorii vor să sape o fântână F, situată la aceeași distanță de cele două case. a) Precizați pe ce linie trebuie să se afle fântâna. Justificați răspunsul. b) Dacă fântâna se sapă pe drumul drept care unește cele două case, la ce distanță de fiecare casă se va afla? c) Dacă fântâna trebuie să fie la exact 100 m de fiecare casă, câte poziții posibile are? Explicați cum le-ați putea găsi pe un desen, folosind compasul.