Metoda triunghiurilor congruente

1. Se știe că ∆KLM ≡ ∆RST. a) Scrieți toate cele șase congruențe de elemente (laturi și unghiuri) care rezultă din definiția triunghiurilor congruente. b) Precizați ce unghi se opune laturii LM în triunghiul KLM și ce unghi se opune laturii corespunzătoare în triunghiul RST. c) Completați propoziția astfel încât să fie adevărată: „În triunghiuri congruente, la unghiuri congruente se opun ... congruente.”

2. Triunghiurile ABC și PQR sunt congruente (∆ABC ≡ ∆PQR). Se știe că ∢A = 50°, ∢Q = 70°, AB = 6 cm, QR = 8 cm, iar perimetrul triunghiului PQR este 21 cm. a) Calculați măsura unghiului C. b) Calculați lungimea laturii AC. Scrieți rezolvarea completă și justificați fiecare egalitate folosită.

3. Segmentele AB și CD se intersectează în punctul O, care este mijlocul fiecăruia dintre ele. a) Scrieți ipoteza și concluzia, apoi demonstrați că AC ≡ BD, folosind metoda triunghiurilor congruente. b) Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

4. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB ≡ AC, iar D este mijlocul laturii BC. Demonstrați că: a) ∆ABD ≡ ∆ACD, precizând cazul de congruență folosit; b) semidreapta AD este bisectoarea unghiului BAC; c) AD ⊥ BC.

5. Punctul M se află pe bisectoarea unghiului xOy, iar punctele A și B sunt situate pe semidreptele Ox, respectiv Oy, astfel încât MA ⊥ Ox și MB ⊥ Oy. Demonstrați că MA ≡ MB și OA ≡ OB. Precizați cazul de congruență a triunghiurilor dreptunghice pe care îl folosiți.

6. Pentru a afla distanța dintre două puncte A și B situate pe malurile opuse ale unui lac, un elev alege un punct O de pe uscat, de unde se pot vedea ambele puncte. El prelungește segmentul AO cu segmentul OC ≡ OA și segmentul BO cu segmentul OD ≡ OB, apoi măsoară distanța CD și obține 35 m. a) Realizați un desen care să corespundă situației descrise. b) Demonstrați că AB = CD și precizați care este distanța AB.

7. Patrulaterul ABCD are AB ≡ CD și AD ≡ BC. Se trasează diagonala AC. a) Demonstrați că ∆ABC ≡ ∆CDA, scriind corect corespondența vârfurilor. b) Deduceți că ∢ABC ≡ ∢CDA. c) Demonstrați că AB ∥ CD.

8. Se consideră teorema: „Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci ele au perimetre egale.” a) Precizați ipoteza și concluzia acestei teoreme. b) Formulați reciproca ei. c) Stabiliți dacă reciproca este adevărată sau falsă. Dacă este falsă, dați un contraexemplu, precizând lungimile laturilor a două triunghiuri. d) Explicați de ce cele două propoziții nu pot fi reunite într-un enunț de forma „... dacă și numai dacă ...”.