Metoda triunghiurilor congruente. Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi și de pe mediatoarea unui segment

1. Fie Ot bisectoarea unghiului xOy și M un punct pe Ot, M ≠ O. Fie MP ⊥ Ox, P ∈ Ox, și MQ ⊥ Oy, Q ∈ Oy. Se știe că MP = 4 cm și OP = 6 cm. a) Scrieți ipoteza și concluzia, apoi demonstrați că ∆MPO ≡ ∆MQO. Precizați cazul de congruență folosit. b) Aflați lungimile segmentelor MQ și OQ.

2. Punctul M se află în interiorul unghiului AOB, cu ∢AOB = 70°. Fie MP ⊥ OA, P ∈ OA, și MQ ⊥ OB, Q ∈ OB, cu MP = MQ = 3 cm. a) Demonstrați, folosind triunghiuri congruente, că OM este bisectoarea unghiului AOB. b) Calculați măsura unghiului AOM.

3. Dreapta d este mediatoarea segmentului AB și intersectează segmentul AB în punctul O. Fie M un punct pe dreapta d, M ≠ O. Scrieți ipoteza și concluzia, apoi demonstrați, cu ajutorul triunghiurilor congruente, că MA = MB. Precizați cazul de congruență folosit.

4. Fie segmentul AB, O mijlocul lui și P un punct care nu aparține dreptei AB, astfel încât PA = PB. Demonstrați, folosind triunghiurile POA și POB, că dreapta PO este mediatoarea segmentului AB. Indicație: arătați mai întâi că unghiurile POA și POB sunt congruente, apoi folosiți faptul că sunt adiacente suplementare.

5. În triunghiul ABC se cunosc AB = 7 cm, AC = 10 cm și BC = 8 cm. Mediatoarea laturii BC intersectează latura AC în punctul D. a) Justificați de ce DB = DC. b) Calculați perimetrul triunghiului ABD. Scrieți toate etapele rezolvării.

6. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului ABC intersectează latura AC în punctul D. Fie DE ⊥ AB, E ∈ AB, și DF ⊥ BC, F ∈ BC. a) Demonstrați că DE = DF și BE = BF. b) Dacă ∢ABC = 60° și BE = 5 cm, demonstrați că triunghiul BEF este echilateral și aflați lungimea segmentului EF.

7. În triunghiul ABC, mediatoarea laturii AB și mediatoarea laturii AC se intersectează în punctul O. a) Demonstrați că OB = OC. b) Explicați de ce punctul O aparține și mediatoarei laturii BC. c) Dacă OA = 6 cm, calculați suma OB + OC.

8. Două case, A și B, se află de aceeași parte a unui drum drept, reprezentat prin dreapta d. Dreapta AB nu este perpendiculară pe d. Primăria vrea să monteze pe marginea drumului o fântână F, aflată la aceeași distanță de cele două case. a) Explicați, în limbaj geometric, cum se determină poziția punctului F și justificați răspunsul folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment. b) Dacă distanța de la fântână la casa A este de 120 m, aflați lungimea totală a celor două conducte FA și FB, presupunând că ele sunt drepte.