Metoda triunghiurilor congruente. Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi și de pe mediatoarea unui segment
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Enunță proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment. Scrie apoi cele două teoreme reciproce care o alcătuiesc (teorema directă și teorema reciprocă). Pentru fiecare teoremă, precizează ipoteza și concluzia folosind un segment AB, mediatoarea d a lui AB și un punct M.
2. Se consideră unghiul XOY și punctul P situat pe bisectoarea acestuia. Se notează cu A și B picioarele perpendicularelor din P pe laturile OX, respectiv OY. Știind că PA = 7 cm și perimetrul triunghiului PAB este egal cu 23 cm, calculează lungimea segmentului AB. Justifică fiecare etapă a calculului.
3. Punctul C, C ∉ AB, se află pe mediatoarea segmentului AB. Știind că AC = 15 cm și perimetrul triunghiului ABC este egal cu 41 cm, calculează lungimea segmentului AB. Precizează ce fel de triunghi este ABC, după laturi.
4. În triunghiul isoscel ABC (AB = AC), punctul M este mijlocul laturii BC. a) Demonstrează, folosind metoda triunghiurilor congruente, că triunghiurile ABM și ACM sunt congruente. b) Arată că AM ⊥ BC și că semidreapta AM este bisectoarea unghiului BAC. c) Dacă măsura unghiului ABC este de 65°, calculează măsura unghiului BAM.
5. Se consideră triunghiul isoscel ABC (AB = AC). Pe laturile AB și AC se iau punctele D, respectiv E, astfel încât AD = AE. Demonstrează că BE = CD. Precizează triunghiurile folosite și cazul de congruență aplicat.
6. Se consideră unghiul XOY. Pe latura OX se ia punctul A, iar pe latura OY se ia punctul B, astfel încât OA = OB. Punctul P, diferit de O, se află pe bisectoarea unghiului XOY. a) Demonstrează că PA = PB. b) Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment, arată că dreapta OP este mediatoarea segmentului AB.
7. În triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor ABC și ACB se intersectează în punctul I. Distanța de la punctul I la latura AB este de 4 cm. Află distanța de la punctul I la latura AC și distanța de la punctul I la latura BC. Justifică răspunsul folosind proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi.
8. Două sate, A și B, se află de aceeași parte a unei șosele drepte d. Dreapta AB nu este perpendiculară pe șosea. Primăriile vor să construiască pe marginea șoselei o stație de autobuz S, egal depărtată de cele două sate. Explică cum se poate determina, prin construcție geometrică, poziția punctului S pe dreapta d. Justifică, folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment, că punctul obținut este egal depărtat de A și de B.