Perpendicularitate: exerciții și probleme recapitulative
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră un unghi AOB cu măsura de 40°. Punctul M este ales astfel încât OM ⊥ OA, iar semidreptele OM și OB se află în același semiplan determinat de dreapta OA. Punctul N este ales astfel încât ON ⊥ OB, iar semidreptele ON și OA se află în același semiplan determinat de dreapta OB. Realizează un desen și calculează măsurile unghiurilor BOM, AON și MON.
2. Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și suplementare, iar m(∢AOB) = 3 · m(∢BOC). Semidreptele OM și ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB, respectiv BOC. a) Calculează măsurile unghiurilor AOB și BOC. b) Calculează măsurile unghiurilor MOB și BON. c) Demonstrează că OM ⊥ ON.
3. Punctul A se află la distanța de 3,6 cm față de dreapta d. Notăm cu A' simetricul punctului A față de dreapta d și {O} = AA' ∩ d. a) Calculează lungimea segmentului AA'. b) Precizează distanța de la punctul A' la dreapta d. c) Punctul B se află pe dreapta d, iar BA = 5 cm. Calculează lungimea segmentului BA' și justifică răspunsul.
4. Segmentul AB are lungimea de 10 cm. Dreapta d este mediatoarea segmentului AB și intersectează segmentul AB în punctul M. Punctul P aparține dreptei d, P ≠ M, iar PA = 7 cm. a) Calculează lungimea segmentului AM și precizează măsura unghiului PMA. b) Calculează lungimea segmentului PB și justifică. c) Calculează perimetrul triunghiului PAB.
5. Pe o dreaptă a se consideră punctele A, B, C, D, în această ordine, astfel încât AB = CD = 2 cm și BC = 4 cm. Fie d mediatoarea segmentului BC și {O} = a ∩ d. a) Calculează lungimile segmentelor OB și OA. b) Demonstrează că dreapta d este și mediatoarea segmentului AD. c) Calculează distanța de la punctul A la dreapta d.
6. Se consideră un unghi alungit AOE. În același semiplan determinat de dreapta AE se construiesc unghiurile adiacente AOB, BOC, COD și DOE, ale căror măsuri sunt direct proporționale cu numerele 1, 2, 3 și 4. a) Calculează măsurile celor patru unghiuri. b) Demonstrează că OB ⊥ OD. c) Dacă OM este bisectoarea unghiului AOB, calculează măsura unghiului MOD.
7. Dreptele AB și CD sunt concurente în punctul O. Măsurile unghiurilor sunt m(∢AOC) = 4x + 10° și m(∢BOD) = 6x − 30°. a) Ce fel de unghiuri sunt AOC și BOD? Determină valoarea lui x. b) Demonstrează că dreptele AB și CD sunt perpendiculare. c) Calculează măsura unghiului AOD.
8. Se consideră o dreaptă d și două puncte M și N, situate de aceeași parte a dreptei d. Notăm cu M' și N' simetricele punctelor M și N față de dreapta d. a) Realizează un desen. b) Demonstrează că MM' ∥ NN'. c) Dacă MM' = 6 cm și NN' = 10 cm, calculează d(M, d), d(N', d) și suma acestor distanțe.