Poziții relative ale unei drepte față de un cerc. Poziții relative a două cercuri
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul C(O, 5 cm). Distanțele de la centrul O la dreptele d1, d2, d3 și d4 sunt: 3 cm pentru d1, 50 mm pentru d2, 0,7 dm pentru d3 și 4,9 cm pentru d4. Transformați toate distanțele în centimetri. Pentru fiecare dreaptă, stabiliți poziția ei față de cerc (exterioară, tangentă sau secantă) și precizați câte puncte comune are cu cercul. Scrieți, cu simboluri matematice, relația dintre distanță și rază în fiecare caz.
2. Un cerc de centru O are diametrul de 10,8 cm. Dreapta t este tangentă la cerc în punctul T, iar P este un punct al dreptei t, diferit de T. a) Determinați măsura unghiului OTP și justificați răspunsul. b) Calculați distanța de la centrul O la dreapta t. c) Precizați câte puncte comune au dreapta t și cercul. Scrieți acest lucru folosind simbolul intersecției.
3. Se consideră cercurile C1(O1, 3 cm) și C2(O2, 8 cm). Stabiliți poziția relativă a celor două cercuri în fiecare dintre cazurile de mai jos și precizați numărul punctelor comune. Justificați fiecare răspuns printr-o relație între O1O2, r1 + r2 și r2 − r1. a) O1O2 = 11 cm; b) O1O2 = 5 cm; c) O1O2 = 14 cm; d) O1O2 = 7 cm; e) O1O2 = 2 cm; f) O1 coincide cu O2.
4. Două cercuri au razele de 2,5 cm și de 6 cm. Calculați distanța dintre centrele lor în fiecare caz: a) cercurile sunt tangente exterior; b) cercurile sunt tangente interior. c) Desenați cu compasul cele două situații și marcați punctul de tangență T.
5. Se consideră două cercuri cu centrele O și Q și razele de 4 cm, respectiv R cm, unde R este un număr natural nenul. Distanța dintre centre este OQ = 12 cm. Determinați toate valorile pe care le poate lua R astfel încât cele două cercuri să fie secante. Scrieți etapele rezolvării.
6. Mihai afirmă: „Am desenat un cerc și am găsit pe el trei puncte distincte A, B și C, situate pe aceeași dreaptă.” Stabiliți dacă afirmația lui Mihai poate fi adevărată. Justificați răspunsul folosind numărul maxim de puncte comune pe care le poate avea o dreaptă cu un cerc.
7. Într-o grădină botanică sunt amenajate două alei în formă de cerc. Prima alee are diametrul de 60 m, iar a doua are diametrul de 40 m. Cele două alei se intersectează în punctele A și B, iar O1 și O2 sunt centrele lor. a) Ioana merge pe traseul O1 − A − O2 − B − O1. Calculați lungimea acestui traseu. b) Demonstrați că distanța O1O2 este mai mică de 50 m și mai mare de 10 m.
8. Se consideră cercurile C1(O1, 3 cm) și C2(O2, 5 cm), tangente în punctul T. Dreapta O1O2 mai intersectează cercul C1 în punctul A și cercul C2 în punctul B (A ≠ T și B ≠ T). Calculați lungimea segmentului AB în fiecare caz, realizând câte un desen: a) cercurile sunt tangente exterior; b) cercurile sunt tangente interior.