Pozițiile unei drepte față de un cerc. Pozițiile relative a două cercuri
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul C(O, 4 cm) și dreptele a, b, c. Distanțele de la centrul O la aceste drepte sunt: d(O, a) = 2,5 cm, d(O, b) = 40 mm și d(O, c) = 0,6 dm. Transformă distanțele în centimetri. Stabilește poziția fiecărei drepte față de cerc (secantă, tangentă sau exterioară). Precizează câte puncte comune are fiecare dreaptă cu cercul.
2. Se consideră cercurile C1(O1, r1) și C2(O2, r2). Compară distanța O1O2 cu suma și cu diferența razelor. Apoi precizează poziția celor două cercuri în fiecare situație: a) r1 = 3 cm, r2 = 2 cm, O1O2 = 6 cm; b) r1 = 4 cm, r2 = 1,5 cm, O1O2 = 2,5 cm; c) r1 = 2,5 cm, r2 = 3 cm, O1O2 = 4 cm; d) r1 = 5 cm, r2 = 2 cm, O1O2 = 1 cm; e) r1 = 1,5 cm, r2 = 2,5 cm, O1O2 = 4 cm; f) r1 = 3 cm, r2 = 3,5 cm, O1O2 = 0 cm.
3. Se consideră cercurile C1(O1, 4 cm) și C2(O2, r2). a) Știind că cercurile sunt tangente exterioare și O1O2 = 7 cm, calculează raza r2. b) Știind că cercurile sunt tangente interioare, O1O2 = 1,5 cm și r2 < 4 cm, calculează raza r2. c) Câte puncte comune au cele două cercuri în fiecare dintre situațiile de la a) și b)?
4. Un cerc are centrul O și raza egală cu (2x + 1) cm, unde x este număr natural. Distanța de la centrul O la o dreaptă m este de 9 cm. a) Determină numărul natural x pentru care dreapta m este tangentă cercului. b) Determină cea mai mică valoare naturală a lui x pentru care dreapta m este secantă cercului. c) Scrie toate valorile naturale ale lui x pentru care dreapta m este exterioară cercului.
5. Se consideră cercurile C1(O1, 6 cm) și C2(O2, 2 cm), cu O1O2 = (x + 1) cm, unde x este număr natural. Determină valorile lui x pentru care cercurile sunt: a) tangente interioare; b) tangente exterioare; c) secante; d) interioare. e) Pot fi cele două cercuri concentrice? Justifică răspunsul.
6. Pe o dreaptă d se consideră punctele A, B, C, în această ordine, astfel încât AB = 3 cm și BC = 2 cm. Pentru fiecare pereche de cercuri, calculează distanța dintre centre, compar-o cu suma și cu diferența razelor și stabilește poziția cercurilor: a) C(A, 3 cm) și C(C, 2 cm); b) C(A, 5 cm) și C(B, 2 cm); c) C(A, 4 cm) și C(C, 2 cm). La punctele a) și b), precizează care dintre punctele A, B, C este punctul comun al cercurilor.
7. a) Desenează un cerc cu centrul O și raza de 2,5 cm. Fixează pe cerc un punct A. b) Construiește tangenta t la cerc în punctul A. Descrie în cuvinte cum ai construit-o: ce unghi formează tangenta cu raza OA? c) Pe tangenta t se ia un punct B, diferit de A, astfel încât AB = 2 cm. Stabilește poziția punctului B față de cerc (interior, pe cerc sau exterior). Justifică răspunsul fără a măsura.
8. Un far luminează o zonă în formă de disc, cu centrul în far și raza de 12 km. O navă se deplasează în linie dreaptă, pe un traseu aflat la 9 km de far. a) Modelează situația folosind un cerc și o dreaptă. Ce poziție are traseul navei față de cercul care mărginește zona luminată? b) Va trece nava prin zona luminată? Justifică. c) Ce s-ar întâmpla dacă traseul ar fi la 15 km de far? d) La ce distanță de far ar trebui să fie traseul pentru ca nava să atingă marginea zonei luminate într-un singur punct?