Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale
Disciplina: MatematicăClasa: a 6-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Scrie, în limbaj matematic, definiția relației de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale: „a divide b” înseamnă ... b) Scrie numele proprietății relației de divizibilitate care justifică fiecare dintre afirmațiile următoare: 1) 6 | 18 și 18 | 72 ⇒ 6 | 72; 2) 8 | 24 și 8 | 40 ⇒ 8 | 64; 3) 5 | 15 ⇒ 5 | (15 · 23); 4) 13 | 13; 5) 4 | (9 · b) și (4, 9) = 1 ⇒ 4 | b, unde b ∈ ℕ.
2. Se consideră numerele s = 4836 + 252 + 1236, r = 9876 − 543 − 1212 și p = 35 · 48 · 17. Fără a calcula s, r și p, demonstrează că: a) numărul s este divizibil cu 4; b) numărul r este divizibil cu 3; c) numărul p este divizibil cu 7. Precizează, de fiecare dată, proprietatea divizibilității pe care ai folosit-o.
3. Demonstrează că, oricare ar fi numărul natural n: a) 13 | (3ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ); b) 7 | (2ⁿ⁺³ − 2ⁿ); c) 19 | (5ⁿ⁺² − 6 · 5ⁿ).
4. Determină, în fiecare caz, cifra m, știind că: a) 5 | ( 36m (cu bară deasupra) + 25 ); b) 3 | ( 36m (cu bară deasupra) + 25 ); c) 9 | ( 4m7 (cu bară deasupra) − 13 ). Notă: 36m (cu bară deasupra) este numărul de trei cifre cu cifrele 3, 6 și m, iar 4m7 (cu bară deasupra) este numărul de trei cifre cu cifrele 4, m și 7.
5. Determină, în fiecare caz, toate numerele naturale n pentru care: a) (n + 2) | (n + 10); b) (n + 1) | (2n + 9); c) (n + 4) | (3n + 20).
6. Demonstrează, prin reducere la absurd, că nu există niciun număr natural x cu proprietățile x | 175 și 2 | x. Scrie clar cele trei etape ale demonstrației.
7. Se consideră abc (cu bară deasupra) un număr natural de trei cifre. Știind că 3 | abc (cu bară deasupra), demonstrează că 3 | (40a + 13b + 7c).
8. Stabilește dacă fiecare dintre afirmațiile următoare este adevărată (A) sau falsă (F), unde a și b sunt numere naturale. Justifică fiecare răspuns: pentru afirmațiile adevărate, numește proprietatea folosită; pentru cele false, dă un contraexemplu. a) Dacă 4 | a și 4 | b, atunci 4 | (a + b). b) Dacă 6 | (a + b), atunci 6 | a și 6 | b. c) Dacă 2 | a, atunci 2 | (a · b). d) Dacă 4 | (a · b), atunci 4 | a sau 4 | b. e) Dacă 10 | a, atunci 5 | a.