Relații între mulțimi: egalitate, incluziune, submulțimi

1. Completează spațiile libere cu unul dintre simbolurile ∈, ∉, ⊂, ⊄, =, ≠, astfel încât să obții propoziții adevărate. La unele spații există mai multe variante corecte. a) 5 ... {1, 3, 5, 7}; b) {3, 7} ... {1, 3, 5, 7}; c) {0} ... {1, 2, 3}; d) {a, b, c} ... {c, a, b}; e) ∅ ... {4, 9}; f) 6 ... {n | n este număr natural impar}.

2. Se consideră mulțimile A = {x | x ∈ ℕ, x < 5}, B = {x | x este divizor al lui 12, x ≤ 4} și E = {2⁰, 2¹, 3¹, 2²}. Mai considerăm mulțimile C, a literelor cuvântului „stea”, și D, a literelor cuvântului „seta”. a) Scrie mulțimile A, B, C, D și E prin enumerarea elementelor. b) Stabilește dacă A = B, dacă B = E și dacă C = D. Justifică fiecare răspuns.

3. Fie mulțimile C = {x | x = 3n, n ∈ ℕ, n ≤ 3} și D = {x | x ∈ ℕ, x ≤ 12}. a) Scrie mulțimile C și D prin enumerarea elementelor. b) Demonstrează că C ⊂ D. c) Arată că D ⊄ C, dând un exemplu de element potrivit.

4. Fie M mulțimea cifrelor numărului 4 294. a) Scrie mulțimea M prin enumerarea elementelor. b) Scrie toate submulțimile mulțimii M. c) Scrie mulțimea 𝒫(M) și precizează câte elemente are.

5. Determină toate mulțimile X care îndeplinesc simultan condițiile: i) {1, 4} ⊂ X; ii) X ⊂ {1, 2, 4, 6}. Analizează toate cazurile posibile.

6. Fie mulțimile A = {2, 4, 6, 8} și B = {2, x, 8, x + 2}, unde x este număr natural. Determină valorile lui x pentru care A = B. Verifică fiecare valoare găsită.

7. Fie A = {n | n ∈ ℕ, n < 13}. Scrie submulțimea mulțimii A formată din toate elementele lui A care sunt: a) divizori ai lui 12; b) numere prime; c) pătrate ale unor numere naturale. d) Scrie toate submulțimile mulțimii A care au exact două elemente, iar suma acestora este egală cu 7.

8. Notăm cu M₂, M₄ și M₈ mulțimile multiplilor naturali ai numerelor 2, 4 și, respectiv, 8. a) Scrie câte cinci elemente din fiecare mulțime. b) Demonstrează că M₄ ⊂ M₂. c) Arată că M₂ ⊄ M₄. d) Știind că M₈ ⊂ M₄, ce relație există între M₈ și M₂? Justifică folosind o proprietate a incluziunii.