Simetrie față de o dreaptă

1. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate: a) Punctul P' este simetricul punctului P, exterior dreptei d, față de dreapta d dacă dreapta d este … segmentului PP'. b) Dacă punctul M aparține dreptei d, atunci simetricul lui M față de dreapta d este … . c) Dacă P' este simetricul lui P față de dreapta d, atunci P este … lui P' față de dreapta d. d) Distanța de la un punct la axa de simetrie este … cu distanța de la simetricul său la aceeași axă.

2. Punctul R este simetricul punctului T față de dreapta d, iar TR ∩ d = {O}. Știind că TR = 9,4 cm, calculați lungimile segmentelor TO și RO. Precizați distanța de la punctul R la dreapta d. Justificați răspunsul.

3. Pe dreapta g se consideră, în această ordine, punctele A, B, C, D, E, astfel încât AB = 3 cm, BC = 2 cm, CD = 2 cm și DE = 3 cm. Prin punctul C se construiește dreapta h, perpendiculară pe g. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Determinați simetricul punctului B și simetricul punctului A față de dreapta h. Justificați. c) Pe segmentul AD se alege punctul F astfel încât perpendiculara în F pe dreapta g să fie o dreaptă față de care A și D sunt simetrice. Calculați lungimea segmentului AF.

4. Segmentul MN are lungimea de 6,5 cm, iar unghiul XOY are măsura de 47°. Segmentul M1N1 este simetricul segmentului MN față de dreapta d, iar unghiul X1O1Y1 este simetricul unghiului XOY față de aceeași dreaptă. Aflați lungimea segmentului M1N1 și măsura unghiului X1O1Y1. Formulați proprietatea pe care ați folosit-o.

5. Fie ABCD un pătrat cu latura de 5 cm și punctul E, simetricul punctului D față de dreapta AB. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Demonstrați că punctele D, A, E sunt coliniare. c) Calculați lungimea segmentului DE și distanța de la punctul E la dreapta AB.

6. Descrieți, în trei pași, construcția simetricului P' al unui punct P față de o dreaptă d, folosind echerul și rigla gradată. Apoi realizați construcția pe caiet pentru un punct P situat la 3 cm de dreapta d și calculați lungimea segmentului PP'.

7. Unghiul AOB are măsura de 70°, iar OC este bisectoarea sa. Pe semidreapta OA se ia punctul M astfel încât OM = 4 cm. Punctul N este simetricul punctului M față de dreapta OC. a) Pe ce semidreaptă se află punctul N? b) Calculați lungimea segmentului ON și măsura unghiului NOC. Justificați răspunsurile.

8. Punctele A și B sunt simetrice față de dreapta d, iar punctul C aparține dreptei d și nu aparține dreptei AB. Știind că AB = 6 cm și AC = 5 cm, calculați lungimea segmentului BC și perimetrul triunghiului ABC. Justificați răspunsul.