Unghiuri formate de două drepte distincte cu o secantă

1. Se dau două situații cu câte trei drepte distincte în plan: (I) dreptele d1 și d2 sunt paralele, iar dreapta d3 intersectează dreapta d1 în punctul P și dreapta d2 în punctul Q, cu P ≠ Q; (II) dreptele x, y, z sunt concurente în punctul O. Pentru fiecare situație, stabiliți dacă una dintre drepte este secantă a celorlalte două. Justificați răspunsul folosind definiția secantei.

2. Desenați două drepte distincte a și b (a deasupra lui b) și o dreaptă c care le taie în punctele A (pe a) și B (pe b). Notați unghiurile astfel: - în jurul lui A: ∢A1 stânga-sus, ∢A2 dreapta-sus, ∢A3 dreapta-jos, ∢A4 stânga-jos; - în jurul lui B: ∢B1 stânga-sus, ∢B2 dreapta-sus, ∢B3 dreapta-jos, ∢B4 stânga-jos. Scrieți denumirea fiecărei perechi de unghiuri de mai jos (alterne interne, alterne externe, corespondente, interne de aceeași parte a secantei sau externe de aceeași parte a secantei): a) ∢A2 și ∢B4; b) ∢A4 și ∢B2; c) ∢A3 și ∢B3; d) ∢A4 și ∢B1; e) ∢A1 și ∢B4.

3. Folosiți aceeași configurație ca la itemul 2: dreptele distincte a și b sunt tăiate de secanta c în punctele A și B. Unghiurile sunt notate astfel: în jurul lui A, ∢A1 stânga-sus, ∢A2 dreapta-sus, ∢A3 dreapta-jos, ∢A4 stânga-jos; în jurul lui B, ∢B1 stânga-sus, ∢B2 dreapta-sus, ∢B3 dreapta-jos, ∢B4 stânga-jos. Scrieți toate unghiurile cu vârful în B care formează cu ∢A3 o pereche cu nume specific. Pentru fiecare unghi găsit, precizați denumirea perechii.

4. Copiați și completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate despre unghiurile formate de două drepte distincte a și b cu o secantă c: a) Unghiurile situate în interiorul fâșiei dintre dreptele a și b se numesc unghiuri ……… . b) Unghiurile situate de o parte și de alta a secantei se mai numesc și unghiuri ……… . c) Două unghiuri corespondente sunt situate de ……… parte a secantei; unul dintre ele este ………, iar celălalt este ……… . d) Două unghiuri alterne externe sunt situate în ……… fâșiei dintre dreptele a și b și de o parte și de alta a ……… .

5. Dreptele distincte a și b sunt tăiate de secanta c în punctele A și B. Unghiurile sunt notate astfel: în jurul lui A, ∢A1 stânga-sus, ∢A2 dreapta-sus, ∢A3 dreapta-jos, ∢A4 stânga-jos; în jurul lui B, ∢B1 stânga-sus, ∢B2 dreapta-sus, ∢B3 dreapta-jos, ∢B4 stânga-jos. Se știe că ∢A1 = 72° și ∢B2 = 100°. a) Calculați ∢A2, ∢A3 și ∢A4. b) Calculați ∢B1, ∢B3 și ∢B4. c) Comparați măsurile unghiurilor alterne interne ∢A3 și ∢B1. Justificați fiecare pas (unghiuri opuse la vârf, unghiuri suplementare).

6. Dreptele distincte a și b sunt tăiate de secanta c în punctele A și B. Unghiurile sunt notate astfel: în jurul lui A, ∢A1 stânga-sus, ∢A2 dreapta-sus, ∢A3 dreapta-jos, ∢A4 stânga-jos; în jurul lui B, ∢B1 stânga-sus, ∢B2 dreapta-sus, ∢B3 dreapta-jos, ∢B4 stânga-jos. Se știe că ∢A2 = (2x + 10)° și ∢A3 = (3x + 20)°. a) Determinați numărul x și măsurile unghiurilor ∢A2 și ∢A3. b) Știind că unghiul alterne extern cu ∢A2 are aceeași măsură ca ∢A2, precizați care este acest unghi și calculați măsurile tuturor unghiurilor cu vârful în B.

7. Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justificați răspunsul. a) „Unghiurile ∢A1 și ∢A2, formate în jurul aceluiași punct A, sunt unghiuri corespondente.” b) „Două unghiuri alterne interne formate de două drepte distincte cu o secantă au întotdeauna aceeași măsură.” (Puteți folosi rezultatul de la itemul 5.) c) „Un unghi intern și un unghi extern, situate de aceeași parte a secantei și cu vârfurile în puncte diferite, ca de exemplu ∢A1 și ∢B1, sunt unghiuri corespondente.”

8. În triunghiul DEF, dreapta EF intersectează dreapta DE în punctul E și dreapta DF în punctul F. a) Explicați de ce dreapta EF este secantă a dreptelor DE și DF. b) Precizați ce fel de pereche formează unghiurile ∢DEF și ∢DFE față de dreptele DE și DF și secanta EF. c) Pe semidreapta opusă semidreptei ED se ia un punct P. Știind că ∢DEF = 50°, calculați ∢PEF și justificați.