Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului: linia mijlocie, centrul de greutate, ortocentrul
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În triunghiul ABC avem AB = 10 cm, BC = 14 cm și AC = 12 cm. Punctele D, E și F sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv CA. Calculați lungimile segmentelor DE, EF și FD, apoi perimetrul triunghiului DEF. Precizați teorema folosită.
2. În triunghiul ABC, AM este mediană, M ∈ BC, iar AM = 15 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Calculați lungimile segmentelor AG și GM. Justificați răspunsul.
3. În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii AB. Paralela prin M la dreapta BC intersectează latura AC în punctul N. Știind că AC = 18 cm și BC = 16 cm, determinați lungimile segmentelor AN și MN. Precizați ce teoremă ați folosit pentru a stabili poziția punctului N.
4. Fie ABCD un patrulater convex oarecare, iar M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA. a) Demonstrați că patrulaterul MNPQ este paralelogram, folosind linia mijlocie în triunghiurile ABC și ACD. b) Știind că AC = 12 cm și BD = 10 cm, calculați perimetrul patrulaterului MNPQ.
5. Fie ABCD un paralelogram cu AC ∩ BD = {O}. Punctul E este mijlocul laturii AB, iar DE ∩ AC = {G}. a) Demonstrați că G este centrul de greutate al triunghiului ABD. b) Știind că AC = 18 cm, calculați lungimile segmentelor AG și GC.
6. În triunghiul ABC, medianele AD și BE se intersectează în punctul G. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AG, respectiv BG. Se știe că AB = 14 cm, AD = 18 cm și BE = 12 cm. a) Calculați lungimile segmentelor MN și DE. b) Arătați că patrulaterul MNDE este paralelogram. c) Calculați lungimile diagonalelor DM și EN ale acestui paralelogram.
7. Se consideră triunghiul ABC cu BC = 8 cm, AC = 10 cm și AB = 12 cm. Prin vârfurile A, B și C se duc paralele la laturile BC, AC, respectiv AB. Aceste paralele se intersectează două câte două în punctele A′, B′ și C′, astfel încât A ∈ B′C′, B ∈ A′C′ și C ∈ A′B′. a) Explicați, folosind paralelogramele BCAC′ și BCB′A, de ce A este mijlocul segmentului B′C′. b) Calculați perimetrul triunghiului A′B′C′. c) Precizați ce reprezintă ortocentrul H al triunghiului ABC pentru triunghiul A′B′C′ și justificați.
8. Un parc are forma unui triunghi ABC. O alee dreaptă unește poarta A cu mijlocul M al gardului BC și are lungimea de 45 m. O a doua alee dreaptă unește poarta B cu mijlocul N al gardului AC și are lungimea de 36 m. La intersecția celor două alei se află o fântână F. a) Ce punct remarcabil al triunghiului ABC este F? Justificați. b) Calculați distanțele de la fântână la poarta A, la punctul M, la poarta B și la punctul N. c) O a treia alee pornește din poarta C, trece prin fântână și ajunge la gardul AB. În ce punct al gardului AB ajunge această alee? Justificați.