Aplicații ale triunghiului dreptunghic în determinarea elementelor poligoanelor regulate și în situații practice
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Triunghiul echilateral ABC are latura de 6√3 cm și este înscris în cercul C(O, R). Calculați: a) raza R a cercului circumscris; b) apotema triunghiului; c) perimetrul triunghiului; d) aria triunghiului. Scrieți formulele folosite.
2. Pătratul MNPQ are apotema de 7 cm. Calculați: a) latura pătratului; b) raza cercului circumscris pătratului; c) perimetrul pătratului; d) aria pătratului.
3. Hexagonul regulat ABCDEF are perimetrul de 48 cm. Calculați: a) latura hexagonului și raza cercului circumscris; b) apotema hexagonului; c) aria hexagonului; d) lungimea diagonalei AD.
4. Un cerc are lungimea de 20π cm. În acest cerc sunt înscrise un triunghi echilateral, un pătrat și un hexagon regulat. Calculați apotemele a₃, a₄ și a₆ ale celor trei poligoane. Apoi scrieți-le în ordine crescătoare.
5. Într-un triunghi echilateral, suma dintre raza cercului circumscris și apotemă este de 12 cm. Determinați: a) apotema și raza cercului circumscris; b) latura triunghiului; c) aria triunghiului.
6. O piuliță are forma unui hexagon regulat cu latura de 10 mm. Cheia potrivită pentru această piuliță are deschiderea egală cu distanța dintre două laturi opuse ale hexagonului. a) Explicați de ce această distanță este egală cu dublul apotemei hexagonului. b) Calculați deschiderea cheii. Dați rezultatul exact și o aproximare cu o zecimală, folosind √3 ≈ 1,73.
7. Dintr-un disc de carton cu raza de 12 cm, Andrei decupează cel mai mare pătrat posibil. Vârfurile pătratului se află pe marginea discului. a) Calculați latura și aria pătratului. b) Calculați aria cartonului rămas după decupare (folosiți π ≈ 3,14). c) Exprimați partea de carton pierdută ca procent din aria discului (rotunjiți la o zecimală).
8. Fie ABCDEF un hexagon regulat cu latura de 6 cm. a) Aflați măsura unghiului ACD și justificați răspunsul. Indicație: AD este diametru al cercului circumscris. b) Calculați lungimea diagonalei AC, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ACD. c) Calculați aria triunghiului ACE și raportul dintre aria triunghiului ACE și aria hexagonului.