Proiecții ortogonale pe o dreaptă
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Într-un sistem de axe ortogonale xOy se consideră punctele A(–5; 2), B(4; –3), C(0; 6) și D(–2; 0). a) Scrieți coordonatele proiecțiilor punctelor A, B, C și D pe axa Ox. b) Scrieți coordonatele proiecțiilor punctelor A, B, C și D pe axa Oy. c) Precizați care dintre punctele date coincide cu propria proiecție pe axa Ox. Explicați de ce.
2. Se consideră dreptunghiul ABCD, cu AB = 10 cm și BC = 6 cm. Determinați: a) proiecția punctului C pe dreapta AB; b) proiecția punctului D pe dreapta AB; c) proiecția segmentului CD pe dreapta AB și lungimea ei; d) proiecția segmentului AC pe dreapta BC și lungimea ei; e) proiecția segmentului AB pe dreapta BC.
3. În triunghiul ABC, cu ∢A = 90°, AD este înălțime, D ∈ BC. a) Numiți proiecțiile catetelor AB și AC pe ipotenuza BC. b) Precizați proiecția segmentului AD pe dreapta BC. c) Precizați proiecția ipotenuzei BC pe dreapta AB. Justificați răspunsul.
4. Segmentul AB are lungimea de 10 cm, iar d este o dreaptă. Notăm A′ = pr_d A și B′ = pr_d B. Aflați lungimea proiecției segmentului AB pe dreapta d în fiecare dintre situațiile: a) AB ∥ d; b) AB ⊥ d; c) dreapta AB formează cu dreapta d un unghi de 60°. Indicație pentru c): construiți AE ⊥ BB′, E ∈ BB′, și folosiți triunghiul dreptunghic ABE.
5. Punctele A și B sunt situate de aceeași parte a dreptei d, iar dreapta AB nu este perpendiculară pe d. Notăm A′ = pr_d A, B′ = pr_d B, iar M este mijlocul segmentului AB și M′ = pr_d M. Se știe că AA′ = 4 cm, BB′ = 10 cm și A′B′ = 12 cm. a) Justificați că M′ este mijlocul segmentului A′B′ și calculați lungimea segmentului A′M′. b) Calculați lungimea segmentului MM′.
6. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC. Fie D = pr_BC A. a) Demonstrați că D este mijlocul segmentului BC. b) Demonstrați că proiecțiile laturilor AB și AC pe dreapta BC sunt segmente congruente. Redactați complet demonstrațiile.
7. În triunghiul MNP, ∢M = 90°, ∢N = 30° și NP = 20 cm. Fie Q proiecția punctului M pe dreapta NP. a) Calculați lungimea catetei MP. b) Calculați lungimea proiecției catetei MP pe ipotenuză. c) Calculați lungimea proiecției catetei MN pe ipotenuză.
8. Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 18 cm și CD = 10 cm și laturile neparalele AD = BC = 8 cm. Fie E = pr_AB D și F = pr_AB C. a) Precizați proiecțiile segmentelor AD, BC și CD pe dreapta AB. b) Calculați lungimile proiecțiilor laturilor AD și BC pe dreapta AB. c) Comparați lungimea proiecției lui AD cu lungimea lui AD și deduceți măsura unghiului DAB.