Cercul. Coarde și arce în cerc. Proprietăți
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul C(O, 5 cm) și punctele A, B, C, D din plan, astfel încât OA = 3 cm, OB = 5 cm, OC = 7,5 cm și OD = 5 cm. a) Precizați care dintre puncte aparțin cercului C(O, 5 cm), care aparțin interiorului cercului și care aparțin exteriorului cercului. b) Precizați care dintre puncte aparțin discului D(O, 5 cm). c) Dacă B și D sunt puncte diametral opuse, calculați lungimea coardei BD și justificați de ce nicio coardă a acestui cerc nu poate avea lungimea de 11 cm.
2. Pe un cerc de centru O se consideră punctele A, B și C, în această ordine, astfel încât măsura arcului mic AB este de 70°, iar măsura arcului mic BC este de 110°. a) Determinați măsura unghiului la centru AOB. b) Calculați măsura arcului mare AB. c) Calculați măsura arcului AC care nu conține punctul B. d) Stabiliți, cu justificare, dacă segmentul AC este diametru al cercului.
3. În cercul de centru O se consideră coardele congruente AB și CD. Știind că m(∢AOB) = (3x + 15)° și m(∢COD) = (5x − 25)°: a) Explicați, folosind o teoremă din lecție, de ce unghiurile AOB și COD sunt congruente. b) Aflați valoarea lui x. c) Calculați măsura arcului mic CD și măsura arcului mare CD.
4. În cercul de centru O se consideră coarda AB cu lungimea de 18 cm. Diametrul PQ este perpendicular pe coarda AB în punctul M, iar punctul P se află pe arcul mic AB. Știind că măsura arcului AP (arcul care nu conține punctul Q) este de 50°: a) Calculați lungimea segmentului AM. Justificați. b) Determinați măsura arcului mic AB. c) Determinați măsura arcului AQ care nu conține punctul P.
5. Pe un cerc se consideră punctele A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB ∥ CD. Măsura arcului mic AB este de 100°, iar măsura arcului mic CD este de 60°. a) Folosind teorema referitoare la arcele cuprinse între două coarde paralele, determinați măsurile arcelor mici BC și AD. b) Dacă BC = 7 cm, aflați lungimea segmentului AD. Justificați. c) Ce fel de patrulater este ABCD? Justificați răspunsul.
6. În cercul de centru O se consideră coardele AB și CD, fiecare cu lungimea de 16 cm. Fie M și N proiecțiile punctului O pe dreptele AB, respectiv CD. Știind că OM = (2x + 3) cm și ON = (4x − 5) cm: a) Justificați de ce OM = ON. b) Aflați valoarea lui x și calculați distanța de la centrul cercului la coarda AB. c) Calculați lungimea segmentului MB și justificați.
7. Pe cercul de centru O și rază 8 cm se consideră punctele A și B, astfel încât măsura arcului mic AB este de 60°. Fie M piciorul perpendicularei din O pe coarda AB. a) Demonstrați că triunghiul AOB este echilateral și calculați lungimea coardei AB. b) Calculați lungimea segmentului AM și măsura unghiului AOM. c) Calculați măsura arcului mare AB.
8. Pe un cerc de centru O se consideră punctele A, B, C și D, în această ordine, astfel încât coardele AB și CD sunt congruente. a) Demonstrați că arcele mici AB și CD sunt congruente. b) Demonstrați că AC ≡ BD. c) Demonstrați că dreptele BC și AD sunt paralele. Redactați complet rezolvarea, precizând teoremele folosite.