Condiții suficiente pentru ca un patrulater să fie paralelogram

1. În patrulaterul convex ABCD avem AB = (2x + 3) cm, CD = 11 cm, BC = (3y − 1) cm și AD = 8 cm. Determinați numerele x și y pentru care ABCD este paralelogram. Precizați condiția suficientă pe care ați folosit-o.

2. În patrulaterul convex MNPQ avem ∢M = ∢P = (2x + 10)° și ∢N = ∢Q = (3x + 20)°. Aflați valoarea lui x și măsurile unghiurilor patrulaterului. Arătați că MNPQ este paralelogram, precizând condiția suficientă folosită.

3. În patrulaterul convex ABCD, diagonalele se intersectează în punctul O. Se știe că OA = 3,5 cm, OC = 35 mm, BD = 9 cm și OB = 4,5 cm. Decideți, argumentând, dacă ABCD este paralelogram.

4. Andrei afirmă: „Dacă patrulaterul convex ABCD are AB ∥ CD și AD ≡ BC, atunci ABCD este sigur paralelogram.” Decideți dacă afirmația este adevărată sau falsă. Justificați răspunsul. Dacă afirmația este falsă, dați un exemplu de patrulater care are aceste proprietăți și nu este paralelogram.

5. În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii BC, iar punctul D este simetricul punctului A față de M. Demonstrați că patrulaterul ABDC este paralelogram.

6. Fie paralelogramul ABCD. Pe latura AB se ia punctul E, iar pe latura CD se ia punctul F, astfel încât AE = CF. Demonstrați că: a) AECF este paralelogram; b) EBFD este paralelogram.

7. În paralelogramul ABCD, diagonalele se intersectează în punctul O. Pe diagonala AC se iau punctele M și N, cu M între A și O și N între O și C, astfel încât AM = CN. Demonstrați că patrulaterul BMDN este paralelogram.

8. Un suport extensibil pentru ghivece este format din două bare, AC și BD, prinse cu un șurub în punctul O. Punctul O este mijlocul fiecărei bare. Capetele barelor sunt unite prin sfori întinse și formează patrulaterul convex ABCD. a) Explicați de ce ABCD este paralelogram oricare ar fi unghiul dintre bare. b) Dacă AB = 50 cm și BC = 30 cm, calculați lungimea totală a sforilor, adică perimetrul patrulaterului ABCD.