Criterii de asemănare a triunghiurilor. Aproximarea în practică a distanțelor folosind asemănarea
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți, în fiecare caz, dacă triunghiurile ABC și MNP sunt asemenea. Când sunt asemenea, scrieți asemănarea cu vârfurile în ordinea corespunzătoare și precizați criteriul folosit (U.U., L.U.L. sau L.L.L.). a) m(∢A) = 45°, m(∢B) = 70°, m(∢M) = 45°, m(∢P) = 65°; b) AB = 4 cm, AC = 6 cm, m(∢A) = 50°, MN = 6 cm, MP = 9 cm, m(∢M) = 50°; c) AB = 5 cm, AC = 7 cm, BC = 9 cm, MN = 10 cm, MP = 14 cm, NP = 20 cm; d) AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm, MN = 9 cm, NP = 12 cm, MP = 15 cm.
2. Se consideră triunghiurile ABC și DEF, cu AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 12 cm, DE = 12 cm, EF = 15 cm și DF = 18 cm. a) Arătați că ∆ABC ~ ∆DEF și precizați criteriul de asemănare folosit. b) Determinați raportul de asemănare k = AB/DE. c) Calculați raportul perimetrelor celor două triunghiuri. d) Calculați raportul ariilor triunghiurilor ABC și DEF.
3. În triunghiul ABC se cunosc AB = 15 cm, AC = 12 cm și BC = 18 cm. Pe latura AB se ia punctul D, cu AD = 4 cm, iar pe latura AC se ia punctul E, cu AE = 5 cm. a) Demonstrați că ∆ADE ~ ∆ACB. b) Calculați lungimea segmentului DE. c) Arătați că ∢ADE ≡ ∢ACB.
4. Fie triunghiul ABC, cu m(∢A) = 90°, și AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Demonstrați că ∆ABD ~ ∆CBA. b) Deduceți că AB² = BD · BC. c) Dacă BD = 4 cm și BC = 9 cm, calculați lungimea laturii AB.
5. Segmentele AC și BD se intersectează în punctul O. Se cunosc OA = 6 cm, OC = 9 cm, OB = 4 cm și OD = 6 cm. a) Demonstrați că ∆AOB ~ ∆COD. b) Dacă AB = 8 cm, calculați lungimea segmentului CD. c) Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele.
6. Triunghiurile ABC și MNP sunt asemenea, cu AB = 10 cm și MN = 4 cm. În triunghiul ABC, mediana din A are lungimea de 7,5 cm, iar înălțimea din A are lungimea de 6 cm. a) Determinați raportul de asemănare k = AB/MN. b) Calculați lungimea medianei din M și lungimea înălțimii din M ale triunghiului MNP. c) Știind că aria triunghiului MNP este 12 cm², calculați aria triunghiului ABC.
7. Într-o zi însorită, un elev vrea să afle înălțimea unui copac din curtea școlii. Pe teren orizontal, el fixează vertical un baston de 1,5 m. Umbra bastonului are 2 m, iar umbra copacului, măsurată în același moment, are 14 m. a) Realizați un desen care modelează situația: copacul și bastonul sunt segmente perpendiculare pe sol, iar razele soarelui sunt paralele. b) Explicați de ce cele două triunghiuri formate sunt asemenea și precizați criteriul folosit. c) Calculați înălțimea copacului.
8. Punctele P și Q se află de o parte și de alta a unui lac. Dintr-un punct O se văd ambele puncte, iar măsurătorile dau OP = 180 m și OQ = 120 m. Pe segmentul OP se fixează punctul A, cu OA = 9 m, iar pe segmentul OQ se fixează punctul B, astfel încât AB ∥ PQ. a) Calculați lungimea segmentului OB, adică distanța la care trebuie fixat punctul B față de O. b) Justificați, în limbaj matematic, că ∆OAB ~ ∆OPQ. c) Distanța măsurată este AB = 4,5 m. Calculați distanța PQ dintre cele două puncte de pe malurile lacului.