Dreptunghiul. Proprietăți
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți valoarea de adevăr (A sau F) a fiecăreia dintre propozițiile de mai jos. Pentru fiecare propoziție falsă, scrieți varianta corectă. a) Orice dreptunghi este paralelogram. b) Orice paralelogram este dreptunghi. c) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt perpendiculare. d) Un patrulater care are trei unghiuri drepte este dreptunghi. e) Un dreptunghi are două axe de simetrie.
2. În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în punctul O, iar BD = 12 cm. Calculați lungimile segmentelor AC, AO și OC. Justificați fiecare răspuns folosind proprietățile dreptunghiului.
3. În dreptunghiul ABCD, AC ∩ BD = {O} și m(∠ACB) = 35°. Determinați măsurile unghiurilor OBC, BOC, AOB, BAC și ODC. Justificați calculele.
4. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB = 14 cm și BC = 9 cm. Bisectoarea unghiului DAB intersectează latura CD în punctul E. a) Arătați că triunghiul ADE este dreptunghic isoscel. b) Calculați lungimile segmentelor DE și EC. c) Determinați măsura unghiului AEC.
5. În dreptunghiul ABCD, AC ∩ BD = {O}, m(∠AOD) = 120° și AC = 10 cm. a) Determinați măsura unghiului AOB. b) Arătați că triunghiul AOB este echilateral. c) Calculați perimetrul triunghiului AOB și lungimea laturii CD.
6. Se consideră paralelogramul ABCD, cu AC ∩ BD = {O}. Știind că triunghiul AOB este isoscel, cu OA = OB, demonstrați că paralelogramul ABCD este dreptunghi. Scrieți ipoteza, concluzia și demonstrația.
7. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar M este mijlocul ipotenuzei BC. Punctul D este simetricul punctului A față de punctul M. a) Demonstrați că patrulaterul ABDC este dreptunghi. b) Știind că BC = 16 cm, calculați lungimea segmentului AM. c) Ce proprietate a medianei corespunzătoare ipotenuzei se deduce din această construcție? Formulați-o în limbaj matematic.
8. Un tâmplar construiește o ramă de tablou în formă de patrulater ABCD. Laturile opuse au lungimile AB = CD = 120 cm și BC = AD = 90 cm. Ca să verifice dacă rama are toate colțurile drepte, tâmplarul măsoară diagonalele și obține AC = BD = 150 cm. a) Explicați, folosind proprietățile studiate, de ce rama are forma unui dreptunghi. b) Calculați lungimea benzii decorative necesare pentru a înconjura rama o singură dată. c) Tâmplarul fixează un cârlig în punctul de intersecție a diagonalelor. Calculați distanța de la cârlig la fiecare colț al ramei.