Linia mijlocie în triunghi și centrul de greutate al unui triunghi
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În triunghiul DEF, punctele M și N sunt mijloacele laturilor DE, respectiv DF. a. Dacă MN = 6,5 cm, calculați lungimea laturii EF. b. Dacă EF = 15 cm, calculați lungimea segmentului MN. Precizați ce proprietate ați folosit.
2. Triunghiul ABC are laturile AB = 10 cm, BC = 14 cm și AC = 12 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv CA. a. Calculați lungimile segmentelor MN, NP și MP. b. Calculați perimetrul triunghiului MNP. c. Comparați perimetrul triunghiului MNP cu perimetrul triunghiului ABC.
3. În triunghiul ABC, AD și BE sunt mediane (D ∈ BC, E ∈ AC), iar G este centrul de greutate al triunghiului. a. Dacă AD = 21 cm, determinați lungimile segmentelor AG și GD. b. Dacă BG = 8 cm, determinați lungimile segmentelor GE și BE.
4. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza are lungimea BC = 18 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC, iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Calculați lungimile segmentelor AM și AG. Justificați fiecare pas.
5. În triunghiul ABC, AC = 20 cm și BC = 16 cm. Punctul M este mijlocul laturii AB. Paralela prin M la BC intersectează latura AC în punctul N. a. Arătați că N este mijlocul laturii AC, precizând teorema folosită. b. Calculați lungimile segmentelor AN și MN.
6. În triunghiul ABC, punctele M, N și P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv CA. a. Demonstrați că patrulaterul AMNP este paralelogram. b. Dacă, în plus, AB = AC, arătați că patrulaterul AMNP este romb.
7. Paralelogramul ABCD are perimetrul de 40 cm și BC = 8 cm. Diagonalele se intersectează în punctul O, iar M este mijlocul laturii BC. a. Arătați că OM este linie mijlocie în triunghiul ABC. b. Arătați că OM ∥ AB. c. Calculați lungimea segmentului OM.
8. Un tâmplar construiește din lemn cadrul triunghiular al unui acoperiș. Cadrul are forma unui triunghi isoscel ABC, cu baza BC = 8 m și laturile AB = AC = 5 m. Pentru rezistență, el montează o bară orizontală MN, unde M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AC. a. Explicați de ce bara MN este paralelă cu baza BC. b. Calculați lungimea barei MN. c. Calculați lungimea totală a lemnului necesar pentru cadru și bară, presupunând că nu se pierde material.