Pătratul. Proprietăți
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți valoarea de adevăr (A sau F) a fiecărei propoziții. Justificați pe scurt fiecare răspuns. a) Orice pătrat este romb. b) Orice romb este pătrat. c) Dacă un paralelogram are diagonalele congruente și perpendiculare, atunci el este pătrat. d) În pătratul ABCD, m(∠BDC) = 60°. e) Un pătrat are exact două axe de simetrie. f) Dacă ABCD este pătrat, AC ∩ BD = {O} și BD = 12 cm, atunci OA + OC = 12 cm.
2. Se consideră pătratul ABCD, cu AC ∩ BD = {O} și AC = 14 cm. a) Calculați lungimile segmentelor BD și OB. b) Determinați măsurile unghiurilor AOB și OAB. c) Precizați natura triunghiului AOB (după laturi și după unghiuri). Justificați răspunsul.
3. Pătratul ABCD are perimetrul de 28 cm. În exteriorul pătratului se construiește triunghiul echilateral BCE. a) Calculați lungimea laturii pătratului. b) Calculați perimetrul pentagonului ABECD. c) Determinați măsura unghiului ABE și măsura unghiului BAE.
4. Se consideră dreptunghiul ABCD, în care m(∠CAD) = 45°. a) Arătați că semidreapta AC este bisectoarea unghiului BAD. b) Demonstrați că dreptunghiul ABCD este pătrat. Redactați complet rezolvarea, precizând ipoteza și concluzia.
5. Se consideră rombul ABCD, cu AC ∩ BD = {O}, astfel încât OA = OB. a) Demonstrați că AC ≡ BD. b) Demonstrați că rombul ABCD este pătrat. c) Calculați măsura unghiului ABD.
6. Se consideră pătratul ABCD, cu AC ∩ BD = {O}. Punctul E se află pe segmentul BO, astfel încât m(∠AEC) = 120°. a) Arătați că dreapta BD este mediatoarea segmentului AC și deduceți că EA = EC. b) Calculați măsura unghiului EAC. c) Calculați măsura unghiului EAB.
7. Se consideră pătratul ABCD cu latura de 8 cm, AC ∩ BD = {O}, și punctul M pe latura AB, astfel încât AM = 3 cm. a) Fie N simetricul punctului M față de dreapta AC. Precizați pe ce latură a pătratului se află N și calculați lungimea segmentului DN. b) Fie P simetricul punctului M față de punctul O. Precizați pe ce latură a pătratului se află P și calculați lungimea segmentului DP. c) Câte axe de simetrie are pătratul? Numiți-le pentru pătratul ABCD.
8. Un grădinar amenajează două straturi de flori alăturate, în formă de pătrat: ABCD și BFEC, cu latura comună BC = 6 m. Pătratul BFEC este construit în exteriorul pătratului ABCD. a) Demonstrați că punctele A, B, F sunt coliniare și că punctele D, C, E sunt coliniare. b) Demonstrați că patrulaterul AFED este dreptunghi și calculați lungimea gardului necesar pentru a împrejmui întreaga suprafață AFED. c) Calculați măsura unghiului ACE.