Ecuația de forma ax + b = 0, unde a, b ∈ ℝ; mulțimea soluțiilor unei ecuații; ecuații echivalente

1. Pentru fiecare dintre ecuațiile liniare de mai jos, scrieți coeficientul necunoscutei (a) și termenul liber (b): a) 3x − 7 = 0; b) −x√2 + 5 = 0; c) x/4 + √3 = 0.

2. Rezolvați în ℝ ecuațiile și scrieți mulțimea soluțiilor fiecăreia: a) 5x − 15 = 0; b) −4x + 2√3 = 0; c) x√2 − √18 = 0; d) 0,5x + 1,5 = 0.

3. Aduceți fiecare ecuație la forma ax + b = 0 și determinați mulțimea soluțiilor ei în ℝ. Precizați în ce caz vă aflați (a ≠ 0; a = 0 și b = 0; a = 0 și b ≠ 0): a) 3(x − 2) = 3x − 6; b) 2(x + 1) = 2x + 5; c) 4(x − 1) = 2x + 6.

4. a) Rezolvați ecuația 2x + 5 = 0 în mulțimea ℤ, apoi în mulțimea ℚ. b) Rezolvați ecuația x√3 − 6 = 0 în mulțimea ℚ, apoi în mulțimea ℝ. Justificați de ce mulțimea soluțiilor depinde de mulțimea în care se rezolvă ecuația.

5. Verificați, prin calcul, pentru care dintre ecuațiile următoare numărul x = √2 este soluție: a) 3x − √2 = 2√2; b) x√2 + 1 = 3; c) 2x − √8 = 1.

6. a) Stabiliți dacă ecuațiile 3x − 6 = 0, x ∈ ℝ, și x√2 = √8, x ∈ ℝ, sunt echivalente. Justificați răspunsul. b) Determinați numărul real m, știind că ecuațiile 2x − 4 = 0, x ∈ ℝ, și (m + 1)x = 6, x ∈ ℝ, sunt echivalente.

7. Rezolvați în ℝ ecuațiile. Unde este cazul, scrieți condițiile de existență și verificați dacă soluția găsită le respectă: a) (x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1; b) (2x + 1)/(x − 1) = 3/(x − 1).

8. Perimetrul unui dreptunghi este 10√2 cm, iar lungimea lui este cu 2√2 cm mai mare decât lățimea. Notați lățimea cu x, scrieți ecuația care descrie situația, rezolvați-o și aflați dimensiunile dreptunghiului.