Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă; identități

1. Exprimați în limbaj matematic, folosind notații convenabile, următoarele raționamente: a) Dacă Ioana și Radu au sume de bani egale și fiecare primește încă 15 lei, atunci ei vor avea din nou sume egale. b) Dacă două dreptunghiuri au lungimile egale și lățimile egale, atunci au perimetrele egale. c) Dacă un pătrat are perimetrul egal cu perimetrul altui pătrat, atunci laturile celor două pătrate sunt egale.

2. Știind că a + b + c = 10 și a − b + c = 4, unde a, b, c sunt numere reale, calculați a + c și b. Scrieți toate transformările făcute.

3. Numerele reale x, y, z verifică egalitățile 2x + 3y = 11 și x + 4z = 9. Calculați: a) 3x + 3y + 4z; b) x + 3y − 4z; c) 5x + 9y − 4z; d) 4x + 3y + 8z.

4. Arătați că pentru orice număr real x au loc identitățile: a) 4(2x − 3) − 2(4x + 1) = −14; b) (x + 1)/2 − (x − 1)/3 = (x + 5)/6; c) x(x + 3) − x(x − 2) = 5x.

5. Fie a și b numere reale. Arătați că egalitatea 3a = 5b + 15 este echivalentă cu fiecare dintre egalitățile următoare, precizând de fiecare dată ce operație ați făcut în ambii membri: a) 3a + 2 = 5b + 17; b) 3a − 5b = 15; c) 6a = 10b + 30; d) a(b + 3) − b(a + 5) = 15.

6. Demonstrați că, dacă a, b, c sunt numere întregi și a + 4b = 5c + 10, atunci numărul (a − b)/5 este număr întreg.

7. Numerele reale x și y verifică egalitatea 3x − 2y = 4. Calculați: a) E = 4(x + y) − (x + 6y); b) S = (3x − 2y) + (3x − 2y) + … + (3x − 2y), unde suma are 25 de termeni; c) 6x − 4y − 9.

8. Răspundeți și argumentați: a) Este adevărat că din a + c = b + d rezultă neapărat a = b și c = d? Dați un exemplu numeric. b) Este adevărat că din a · 0 = b · 0 rezultă a = b? Explicați de ce la înmulțirea ambilor membri ai unei egalități obținem o egalitate echivalentă doar dacă înmulțim cu un număr nenul. c) Știind că x + 3√2 = y − √2, calculați y − x.