Ecuația de forma x² = a, unde a ∈ ℝ

1. Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuațiilor: a) x² = 196; b) x² = 0,25; c) x² = –36; d) x² = 0. Pentru fiecare ecuație, scrieți etapele rezolvării: extragerea radicalului, ecuația cu modul și mulțimea soluțiilor S.

2. Rezolvați în mulțimea ℝ ecuațiile de mai jos. Scrieți soluțiile cu radicalul scos de sub radical, acolo unde se poate: a) x² = 6; b) x² = 12; c) x² = 50; d) x² = 200. Precizați apoi dacă soluțiile obținute sunt numere raționale sau iraționale.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) x² = 81/100; b) x² = 5/9; c) x² = 3/8; d) x² = –9/16. Acolo unde este cazul, raționalizați numitorul soluțiilor.

4. Aduceți fiecare ecuație la forma x² = a, apoi rezolvați-o în ℝ: a) 9x² = 4; b) 5x² – 20 = 0; c) 2x² + 18 = 0; d) 3x² = 7.

5. Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuațiilor: a) (x + 2)² = 49; b) (x – 1)² = 3; c) (2x – 1)² = 25. Pentru ecuația de la punctul a), verificați prin calcul că ambele valori găsite sunt soluții.

6. a) Un teren în formă de pătrat are aria de 361 m². Notați cu x latura terenului, în metri, scrieți ecuația care modelează situația și aflați latura. Explicați de ce, dintre soluțiile ecuației, se păstrează doar una. b) O placă de gresie pătrată are aria de 72 cm². Determinați latura plăcii, scrisă sub formă de radical simplificat, apoi aproximați-o la zecimi (√2 ≈ 1,414).

7. a) Completați: ecuația x² = a are două soluții reale dacă a ..., o singură soluție reală dacă a ..., și nicio soluție reală dacă a .... Justificați fiecare caz. b) Se consideră ecuația x² = m – 3, unde m este un număr real. Determinați valorile lui m pentru care ecuația are o singură soluție, apoi valorile lui m pentru care ecuația nu are soluții reale.

8. Andrei a rezolvat ecuația x² = 16 și a scris S = {4}. Maria a rezolvat ecuația x² = –16 și a scris S = {–4, 4}. Identificați greșeala fiecăruia, explicați-o folosind proprietățile pătratului unui număr real și scrieți rezolvarea corectă a ambelor ecuații.