Linia mijlocie în triunghi. Centrul de greutate al unui triunghi
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Triunghiul ABC are laturile AB = 12 cm, BC = 16 cm și AC = 20 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. a) Calculați lungimile segmentelor MN, NP și PM. b) Calculați perimetrul triunghiului MNP și exprimați rezultatul în decimetri.
2. În triunghiul ABC, punctele D, E și F sunt mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. Se știe că EF = 4,5 cm, DF = 6 cm și DE = 5 cm. a) Determinați lungimile laturilor BC, AC și AB. b) Calculați perimetrul triunghiului ABC. c) Comparați perimetrul triunghiului ABC cu perimetrul triunghiului DEF. Ce observați?
3. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, iar AM și BN mediane (M ∈ BC, N ∈ AC). a) Știind că AM = 18 cm, calculați AG și GM. b) Știind că BG = 10 cm, calculați GN și BN. c) Completați: AG/GM = ... și GN/BN = ...
4. În triunghiul ABC, D este mijlocul laturii AB. Paralela prin D la BC intersectează latura AC în punctul E. a) Justificați, folosind o teoremă din lecție, că DE este linie mijlocie în triunghiul ABC. b) Știind că AC = 14 cm și BC = 11 cm, calculați AE și DE. c) În alt triunghi, XYZ, se consideră punctele R ∈ XY și S ∈ XZ, astfel încât RS ∥ YZ și RS = YZ/2. Știind că XR = 5 cm, calculați XY. Justificați răspunsul.
5. În triunghiul ABC, punctele M, N și P sunt mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. a) Demonstrați că patrulaterul APMN este paralelogram. b) Arătați că, dacă triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC, atunci APMN este romb.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza BC are lungimea de 15 cm. Fie M mijlocul ipotenuzei și G centrul de greutate al triunghiului. a) Calculați lungimea medianei AM, folosind proprietatea medianei corespunzătoare ipotenuzei. b) Calculați lungimile segmentelor AG și GM.
7. În triunghiul ABC, P și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AC, AM este mediană (M ∈ BC), iar G este centrul de greutate al triunghiului. Mediana AM intersectează segmentul PN în punctul Q. a) Demonstrați că Q este mijlocul segmentului AM. b) Demonstrați că Q este mijlocul segmentului PN. c) Știind că AM = 24 cm, calculați lungimile segmentelor AQ, AG și GQ.
8. O grădină are forma triunghiului ABC, cu BC = 30 m, AB = 26 m și AC = 28 m. Grădinarul montează un gard care unește mijlocul laturii AB cu mijlocul laturii AC. a) Calculați lungimea gardului. b) Un stâlp de iluminat se montează în centrul de greutate G al grădinii. Știind că mediana din A are lungimea AM = 27 m, calculați distanța de la vârful A la stâlp și distanța de la stâlp la mijlocul laturii BC. c) Gardul se montează din panouri de câte 2,5 m fiecare. Câte panouri sunt necesare?