Mulțimea numerelor reale. Incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

1. Stabiliți valoarea de adevăr (A sau F) a fiecăreia dintre afirmațiile de mai jos. Justificați fiecare răspuns. a) √49 ∈ ℕ; b) −√16 ∈ ℕ; c) 7/3 ∈ ℤ; d) √12 ∈ ℝ \ ℚ; e) −2,(4) ∈ ℚ; f) √(9/25) ∈ ℝ \ ℚ; g) 0 ∈ ℝ*; h) √2 ∈ ℝ.

2. Se consideră mulțimea M = {−5; √36; 3/4; √11; 0; −√49; 2,(7); √1,44; π; 18/6}. Scrieți, pe rând, mulțimile: a) M ∩ ℕ; b) M ∩ ℤ; c) M ∩ ℚ; d) M ∩ (ℝ \ ℚ). Pentru fiecare element care conține radical, arătați calculul prin care ați stabilit cărei mulțimi îi aparține.

3. Stabiliți, argumentat, care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate și care sunt false. Pentru afirmațiile false, dați un contraexemplu. a) ℕ ⊂ ℚ; b) ℚ ⊂ ℤ; c) ℤ ∩ ℕ = ℕ; d) ℚ ∪ (ℝ \ ℚ) = ℝ; e) ℤ \ ℕ = {−1, −2, −3, …}; f) (ℝ \ ℚ) ⊂ ℝ*; g) {−3; 0; 5} ⊂ ℕ.

4. Folosind proprietatea „Dacă x, n ∈ ℕ și n² < x < (n + 1)², atunci √x este irațional”, demonstrați că numerele √30, √85 și √150 sunt iraționale.

5. Determinați toate numerele naturale x, cu x ≤ 30, pentru care numărul √(x + 5) este rațional. Explicați raționamentul folosit.

6. Se consideră numerele naturale de forma a = 5n + 3, unde n ∈ ℕ. a) Scrieți cele mai mici cinci numere de această formă. b) Demonstrați că √a este număr irațional, oricare ar fi n ∈ ℕ. (Indicație: studiați ultima cifră a numărului a și ultima cifră a unui pătrat perfect.)

7. Determinați numerele raționale de forma √(3ab), unde 3ab este un număr natural de trei cifre (scris cu bară deasupra), iar a și b sunt cifre. Justificați răspunsul.

8. Se consideră mulțimea A = {√1; √2; √3; …; √59; √60}. a) Câte elemente are mulțimea A ∩ ℚ? Scrieți aceste elemente sub formă de numere naturale. b) Câte elemente are mulțimea A ∩ (ℝ \ ℚ)? c) Ana afirmă: „A ∩ ℕ = A ∩ ℚ”. Are Ana dreptate? Argumentați.