Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit

1. Fie triunghiul MNP cu ∢N = 90°. Completează spațiile libere cu rapoartele de lungimi de segmente potrivite, pentru a obține propoziții adevărate: sin M = …; cos P = …; tg M = …; ctg P = … .

2. Fie triunghiul DEF cu ∢D = 90°, DE = 9 cm și DF = 12 cm. Calculează lungimea ipotenuzei EF. Apoi calculează sin E, cos E, tg E, ctg E, sin F, cos F, tg F și ctg F. Scrie rezultatele sub formă de fracții ireductibile.

3. Folosind valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°, 45° și 60°, calculează: a) (sin 30° + cos 60°) · tg 45°; b) 2 · sin 45° · cos 45° + tg 60° · ctg 30°; c) (sin 60° · tg 30°) : cos 60°.

4. În triunghiul ABC cu ∢A = 90°, se știe că AC = 10 cm și sin B = 5/13. a) Calculează lungimile segmentelor BC și AB. b) Calculează cos B, tg C și ctg B. c) Calculează perimetrul și aria triunghiului ABC.

5. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 12 cm și una dintre catete de 6√3 cm. Calculează lungimea celeilalte catete. Determină măsurile unghiurilor ascuțite ale triunghiului, folosind un raport trigonometric. Justifică fiecare pas al rezolvării.

6. O scară cu lungimea de 6 m este sprijinită de peretele vertical al unei case. Scara formează cu solul orizontal un unghi de 60°. Realizează un desen care modelează situația. Calculează la ce înălțime atinge scara peretele și la ce distanță de perete se află baza scării. Dă înălțimea și sub formă aproximativă, cu două zecimale (√3 ≈ 1,732).

7. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 12 cm. Diagonala BD formează cu latura AB un unghi cu măsura de 30°. Calculează lungimea laturii AD, lungimea diagonalei BD și aria dreptunghiului ABCD.

8. În triunghiul ABC cu ∢A = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm. a) Calculează BC, apoi sin B, cos B, tg B și ctg B. b) Verifică prin calcul că sin²B + cos²B = 1 și că tg B · ctg B = 1. c) Calculează cos C și compară-l cu sin B. Explică, folosind relația dintre unghiurile B și C, de ce cele două valori sunt egale.