Unghi înscris în cerc; coarde și arce în cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Punctele A, B, C, D sunt situate pe cercul de centru O, astfel încât m(∢AOB) = 124°. Punctele C și D se află pe arcul mare AB. Determinați: a) măsura arcului mic AB și măsura arcului mare AB; b) m(∢ACB) și m(∢ADB). Justificați folosind teorema referitoare la măsura unghiului înscris.
2. Pe cercul de centru O se consideră punctele A, B, C, D, în această ordine, astfel încât segmentul AC este diametru, iar arcul mic AB măsoară 70° și arcul mic CD măsoară 50°. Calculați: a) măsura arcului BC (cel care nu conține punctul A) și măsura arcului DA (cel care nu conține punctul C); b) m(∢ABC) și m(∢ACB); c) m(∢BAD).
3. Într-un cerc de centru O, coardele AB și CD sunt congruente. Arcul mic AB are măsura (3x + 10)°, iar arcul mic CD are măsura (5x − 30)°. a) Explicați de ce arcele mici AB și CD au aceeași măsură. b) Aflați valoarea lui x și măsura fiecărui arc. c) Determinați m(∢COD).
4. În cercul C(O, 10 cm) se consideră coarda AB cu lungimea de 16 cm. Diametrul perpendicular pe AB intersectează coarda AB în punctul M. a) Arătați că M este mijlocul coardei AB și precizați lungimea segmentului AM. b) Calculați distanța de la centrul O la coarda AB. c) O altă coardă CD a aceluiași cerc se află la distanța de 6 cm de centru. Ce lungime are coarda CD? Justificați răspunsul, numind proprietatea folosită.
5. Punctele A, B, C, D se află, în această ordine, pe un cerc de centru O, iar coardele AB și CD sunt paralele. Arcul mic AB măsoară 100°, iar arcul mic CD măsoară 60°. a) Ce puteți spune despre arcele BC și DA cuprinse între coardele paralele? Calculați măsurile lor. b) Calculați m(∢BAD) și m(∢ABC). c) Stabiliți natura patrulaterului ABCD. Justificați.
6. Se consideră cercul C(O, 6 cm) și punctul A, exterior cercului, astfel încât OA = 10 cm. Din A se duc tangentele AT și AT′ la cerc, unde T și T′ sunt punctele de tangență. a) Precizați măsura unghiului ∢OTA și justificați. b) Calculați lungimile AT și AT′. c) Calculați perimetrul patrulaterului OTAT′. d) Arătați că TT′ ⊥ OA și calculați lungimea segmentului TT′.
7. Din punctul A, exterior cercului C(O, 4 cm), se duc tangentele AT și AT′ la cerc, care formează un unghi de 90°. a) Stabiliți natura patrulaterului OTAT′. Justificați. b) Determinați lungimea tangentelor AT și AT′, lungimea segmentului OA și distanța TT′. c) Determinați măsura arcului mic TT′. d) Fie P un punct pe arcul mare TT′. Calculați m(∢TPT′).
8. O grădină are forma unui cerc cu raza de 13 m. Prin grădină trec două alei drepte și paralele, fiecare având capetele pe marginea grădinii și lungimea de 24 m. Aleile se află de o parte și de alta a centrului grădinii. a) Realizați un desen care să modeleze situația, considerând aleile drept coarde ale cercului. b) Calculați distanța de la centrul grădinii la fiecare alee. c) Calculați distanța dintre cele două alei. d) Explicați de ce cele două arce de pe marginea grădinii, cuprinse între alei, au aceeași măsură.