Numere iraționale; mulțimea numerelor reale; incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

1. Se consideră mulțimea A = {−5; 0; 3/4; √16; √7; −√25; 2,(3); π; √12; 0,121121112…}. În ultimul număr, după fiecare grup de cifre de 1 apare cifra 2, iar numărul cifrelor de 1 crește cu câte una. Determinați elementele mulțimilor: A ∩ ℕ, A ∩ ℤ, A ∩ ℚ și A ∩ (ℝ ∖ ℚ).

2. Scrieți câte două exemple de numere care aparțin fiecăreia dintre mulțimile: a) ℕ; b) ℤ ∖ ℕ; c) ℚ ∖ ℤ; d) ℝ ∖ ℚ. La punctul d), unul dintre exemple trebuie să fie scris sub formă de radical, iar celălalt sub forma unei fracții zecimale cu o infinitate de zecimale care nu se succed periodic. Explicați regula după care se scriu zecimalele acestui al doilea număr.

3. Stabiliți valoarea de adevăr (A sau F) a fiecărei propoziții: a) √49 ∈ ℕ; b) −3 ∈ ℕ; c) 2,(7) ∈ ℝ ∖ ℚ; d) √20 ∈ ℚ; e) ℤ ⊂ ℚ; f) ℚ ∩ (ℝ ∖ ℚ) = ∅; g) π ∈ ℚ. Pentru fiecare propoziție falsă, scrieți o scurtă justificare.

4. Precizați care dintre următoarele numere sunt iraționale și care sunt raționale. Justificați fiecare răspuns, folosind ultima cifră a numărului de sub radical sau un calcul. a) √3457; b) √1849; c) √2022; d) √5625; e) √1038.

5. Arătați că numărul √(9n + 3) este irațional, oricare ar fi numărul natural n. Indicație: analizați cum se divide numărul 9n + 3 cu 3 și cu 9.

6. Determinați cifra a, astfel încât numărul √(1a69) să fie număr natural. Prin 1a69 se înțelege numărul de patru cifre scris în baza 10, cu cifrele 1, a, 6, 9. Justificați răspunsul, încadrând numărul între pătrate perfecte.

7. Câte numere întregi x verifică relația −√30 < x < √50? Scrieți aceste numere și justificați răspunsul, încadrând fiecare radical între două numere naturale consecutive.

8. Andrei afirmă: „Suma a două numere iraționale este întotdeauna un număr irațional. Produsul a două numere iraționale este, de asemenea, întotdeauna irațional.” Arătați, prin câte un exemplu pentru fiecare parte a afirmației, că Andrei greșește. Apoi explicați de ce un număr real nu poate fi în același timp rațional și irațional.