Pătratul: definiție, proprietăți și aplicații
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie ABCD un pătrat cu AC ∩ BD = {O}. a) Completează definiția: „Patrulaterul convex care este și ..., și ... se numește pătrat.” b) Scrie, în limbaj matematic, patru proprietăți ale diagonalelor AC și BD ale pătratului ABCD.
2. Fie EFGH un pătrat cu EG ∩ FH = {O}. Calculează și scrie rezultatul: a) Dacă EO = 4,5 cm, află lungimea diagonalei FH, exprimată în milimetri. b) Dacă perimetrul pătratului este 36 cm, află lungimea laturii EF. c) Dacă EG + FO = 21 cm, află lungimea diagonalei FH. d) Află măsurile unghiurilor OEF și EOH.
3. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns printr-o proprietate sau printr-un contraexemplu. a) Orice pătrat este romb. b) Orice romb este pătrat. c) Un dreptunghi cu diagonalele perpendiculare este pătrat. d) Un paralelogram cu diagonalele congruente este pătrat.
4. Fie ABCD un pătrat cu centrul O. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar punctul N este mijlocul laturii CD. a) Care este simetricul punctului A față de punctul O? b) Care este simetricul punctului B față de dreapta AC? c) Care este simetricul punctului A față de dreapta MN? d) Câte axe de simetrie are pătratul? Numește-le pentru pătratul ABCD.
5. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 2·BC. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar punctul N este mijlocul laturii CD. Demonstrează că patrulaterul AMND este pătrat. Scrie ipoteza, concluzia și demonstrația.
6. Fie ABCD un pătrat. Pe laturile AB, BC, CD și DA se iau punctele E, F, G și, respectiv, H, astfel încât AE = BF = CG = DH. a) Demonstrează că triunghiurile AEH și BFE sunt congruente. b) Demonstrează că patrulaterul EFGH este pătrat.
7. Fie ABCD un pătrat cu AC ∩ BD = {O}. Punctul E este simetricul punctului O față de dreapta AB. a) Precizează natura triunghiului AOB și măsurile unghiurilor sale. b) Demonstrează că patrulaterul AOBE este pătrat.
8. O curte are forma unui pătrat cu perimetrul de 64 m. Două alei drepte unesc colțurile opuse ale curții și se intersectează în punctul în care se află o fântână. a) Află lungimea laturii curții. b) Ce măsură are unghiul format de cele două alei? Justifică. c) Distanța de la un colț al curții până la fântână, măsurată pe alee, este de 11,3 m. Află lungimea totală a celor două alei. Justifică folosind proprietățile pătratului.