Pătratul. Definiție și proprietăți
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabilește dacă fiecare dintre afirmațiile următoare este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns folosind definițiile și proprietățile patrulaterelor studiate. a) Orice pătrat este dreptunghi. b) Orice romb este pătrat. c) Un dreptunghi care are diagonalele perpendiculare este pătrat. d) Un patrulater care are diagonalele congruente și perpendiculare este întotdeauna pătrat.
2. Se consideră pătratul ABCD, cu AC ∩ BD = {O} și AC = 10 cm. a) Calculează lungimile segmentelor BD și OB. b) Determină măsurile unghiurilor AOB și OAB. c) Precizează natura triunghiului AOB după laturi și după unghiuri. Justifică răspunsul.
3. Pătratul ABCD are perimetrul egal cu 36 cm. Se notează cu O punctul de intersecție a diagonalelor și cu M mijlocul laturii AB. a) Calculează lungimea laturii pătratului. b) Calculează lungimea segmentului OM. Justifică răspunsul folosind o proprietate a liniei mijlocii în triunghiul ABC. c) Determină măsura unghiului OMB.
4. Se consideră dreptunghiul ABCD în care diagonala AC este bisectoarea unghiului BAD. Demonstrează că dreptunghiul ABCD este pătrat. Redactează complet demonstrația, precizând ipoteza și concluzia.
5. Se consideră rombul MNPQ ale cărui diagonale MP și NQ sunt congruente. Demonstrează că rombul MNPQ este pătrat. Precizează ce proprietăți sau teoreme ai folosit la fiecare pas.
6. Se consideră pătratul ABCD și punctul E situat în exteriorul pătratului, astfel încât triunghiul BCE este echilateral. a) Arată că triunghiul ABE este isoscel și calculează măsura unghiului ABE. b) Calculează măsurile unghiurilor BAE și DAE. c) Calculează măsura unghiului AED.
7. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel, cu măsura unghiului BAC de 90°. Se notează cu M mijlocul ipotenuzei BC și cu D simetricul punctului A față de punctul M. Demonstrează că patrulaterul ABDC este pătrat.
8. Un tâmplar a construit o ramă de tablou cu toate cele patru laturi de câte 60 cm. Ca să verifice dacă rama are forma unui pătrat, el măsoară cele două diagonale. a) Ce fel de patrulater este rama, știind doar că are toate laturile congruente? Justifică. b) Tâmplarul obține pentru diagonale lungimile 85 cm și 85 cm. Este rama un pătrat? Justifică răspunsul. c) Dacă diagonalele ar fi avut lungimile 80 cm și 90 cm, ar fi fost rama un pătrat? Ce măsură ar fi avut, în acest caz, unghiul format de diagonale?