Pătratul. Proprietăți
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Diagonalele pătratului ABCD se intersectează în punctul O, iar AC = 12 cm. Determinați: a) lungimea diagonalei BD; b) lungimile segmentelor OA și OB; c) măsura unghiului AOB; d) măsura unghiului OAB. Justificați fiecare răspuns, numind proprietatea pătratului pe care ați folosit-o.
2. Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justificați răspunsul. Pentru afirmațiile false, dați un contraexemplu. a) Orice pătrat este romb. b) Orice romb este pătrat. c) Un dreptunghi care are diagonalele perpendiculare este pătrat. d) Un paralelogram care are diagonalele congruente este pătrat.
3. Un pătrat are perimetrul de 3,2 dm. a) Calculați lungimea laturii pătratului, exprimată în centimetri. b) Un dreptunghi are același perimetru ca pătratul, iar lungimea lui este de 10 cm. Calculați lățimea dreptunghiului. c) Explicați de ce dreptunghiul de la punctul b) nu este pătrat.
4. În interiorul pătratului ABCD se construiește triunghiul echilateral ABE. a) Calculați măsura unghiului DAE. b) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului ADE. c) Calculați măsura unghiului DEC.
5. În rombul ABCD, măsura unghiului A este 2x + 30°, iar măsura unghiului B este 4x − 30°. a) Aflați valoarea lui x, știind că unghiurile A și B sunt alăturate. b) Calculați măsurile unghiurilor A și B. c) Demonstrați că rombul ABCD este pătrat.
6. Se consideră pătratul ABCD, punctul M pe latura AB și punctul N pe latura BC, astfel încât AM = BN. a) Demonstrați că triunghiurile DAM și ABN sunt congruente. b) Deduceți că DM ≡ AN. c) Demonstrați că dreptele DM și AN sunt perpendiculare.
7. Triunghiul ABC are ∢A = 90°. Bisectoarea unghiului BAC intersectează latura BC în punctul D. Notăm cu E și F picioarele perpendicularelor duse din D pe dreptele AB, respectiv AC. a) Demonstrați că patrulaterul AEDF este dreptunghi. b) Demonstrați că DE = DF. c) Deduceți că AEDF este pătrat și precizați condiția suficientă folosită.
8. O grădină are forma unui pătrat cu latura de 24 m. Proprietarul o împarte în 9 loturi egale, trasând câte două alei paralele cu fiecare pereche de laturi opuse, astfel încât laturile grădinii să fie împărțite în trei segmente congruente. a) Justificați că fiecare lot are formă de pătrat și calculați lungimea laturii unui lot. b) Calculați perimetrul unui lot. c) Grădina trebuie împrejmuită cu gard, iar loturile trebuie despărțite între ele tot prin gard. Calculați lungimea totală a gardului necesar.