Probleme de sinteză – numere reale, sisteme de ecuații, patrulatere, asemănare, relații metrice, cerc
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră numărul a = √48 − √27 + √75. a) Scrieți numărul a sub forma k√3, unde k este un număr natural. b) Demonstrați că numărul a · √3 este număr natural.
2. Demonstrați că numărul A = (√1,69 + √2,89) : √0,36 este număr natural. Scrieți toate etapele calculului.
3. Rezolvați sistemul de ecuații liniare: 3(x − 1) + 2y = 10 x/2 − y/4 = 1 Verificați soluția găsită prin înlocuire în ambele ecuații.
4. La un spectacol s-au vândut 150 de bilete, pentru adulți și pentru copii, încasându-se în total 3050 de lei. Un bilet pentru adulți costă 25 de lei, iar un bilet pentru copii costă 15 lei. Scrieți o ecuație sau un sistem de ecuații care modelează situația, apoi determinați câte bilete pentru adulți și câte bilete pentru copii s-au vândut.
5. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 15 cm și AC = 20 cm. Fie AD înălțimea, D ∈ BC, și AM mediana corespunzătoare ipotenuzei, M ∈ BC. a) Calculați lungimea ipotenuzei BC. b) Calculați lungimile segmentelor AD și BD. c) Calculați lungimea segmentului DM. d) Calculați sin B.
6. Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 22 cm și CD = 10 cm, iar laturile neparalele AD = BC = 10 cm. a) Calculați perimetrul trapezului și lungimea liniei mijlocii. b) Calculați înălțimea trapezului. c) Calculați aria trapezului. d) Calculați lungimea diagonalei AC.
7. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ AB și N ∈ AC astfel încât MN ∥ BC. Se știe că AM = 4 cm, MB = 6 cm, BC = 15 cm, iar aria triunghiului ABC este 75 cm². a) Justificați că triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea și scrieți raportul de asemănare. b) Calculați lungimea segmentului MN. c) Calculați aria triunghiului AMN și aria patrulaterului MNCB.
8. Hexagonul regulat ABCDEF este înscris în cercul C(O, R) și are apotema de 3√3 cm. a) Calculați latura hexagonului și raza R a cercului. b) Calculați lungimea cercului și aria discului mărginit de acest cerc. c) Calculați perimetrul și aria hexagonului. d) Calculați latura pătratului înscris în același cerc.