Probleme recapitulative: Asemănarea triunghiurilor
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului A intersectează latura BC în punctul D. Se știe că AB = 18 cm, AC = 27 cm și BC = 30 cm. Calculează lungimile segmentelor BD și DC. Scrie teorema pe care o folosești.
2. În triunghiul ABC, punctele M și N se află pe laturile AB, respectiv AC, astfel încât MN || BC. Se știe că AM = 6 cm, MB = 9 cm, AN = 8 cm și BC = 25 cm. a) Calculează lungimile segmentelor NC și AC. b) Calculează lungimea segmentului MN.
3. Punctele A, B, C și D se află, în această ordine, pe o dreaptă. Lungimile segmentelor AB, BC și CD sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 5, iar AD = 40 cm. a) Calculează lungimile segmentelor AB, BC și CD. b) Determină lungimea x a unui segment, astfel încât segmentele AB, BC, CD și x să fie proporționale, adică AB/BC = CD/x.
4. Triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea (ΔABC ~ ΔDEF). Se știe că AB = 10 cm, DE = 4 cm, perimetrul triunghiului ABC este 45 cm, iar aria triunghiului DEF este 12 cm². a) Calculează raportul de asemănare al triunghiului ABC față de triunghiul DEF. b) Calculează perimetrul triunghiului DEF. c) Calculează aria triunghiului ABC.
5. În triunghiul ABC, punctul D se află pe latura AB, iar punctul E se află pe latura AC. Se știe că AD = 4 cm, AB = 12 cm, AE = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. a) Demonstrează că ΔADE ~ ΔACB. Precizează cazul de asemănare folosit. b) Calculează lungimea segmentului DE.
6. Trapezul ABCD are bazele AB = 24 cm și CD = 8 cm (AB || CD). Diagonalele trapezului se intersectează în punctul O, iar AC = 20 cm. Înălțimea trapezului este 12 cm. a) Demonstrează că ΔOAB ~ ΔOCD. b) Calculează lungimile segmentelor AO și OC. c) Calculează distanțele de la punctul O la dreptele AB și CD.
7. Într-o zi însorită, un stâlp vertical cu înălțimea de 2 m are o umbră de 1,5 m. În același moment, un copac vertical are o umbră de 9 m. Realizează un desen care modelează situația. Folosind asemănarea triunghiurilor, calculează înălțimea copacului. Justifică de ce triunghiurile sunt asemenea.
8. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, cu D pe BC. Se știe că BD = 4 cm și DC = 9 cm. a) Demonstrează că ΔABD ~ ΔCAD. b) Folosind asemănarea de la punctul a), calculează lungimea segmentului AD. c) Calculează aria triunghiului ABC.