Probleme recapitulative: mulțimi, divizibilitate, proporții, ecuații, procente, unghiuri și triunghiuri
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {16, 3x, y + 5} și B = {2y, 13, 27}, unde x și y sunt numere naturale. a) Determină numerele x și y pentru care A = B. b) Pentru valorile găsite, scrie toate submulțimile mulțimii A și precizează câte sunt. c) Fie C = {13, 14, 15, 16}. Calculează A ∪ C, A ∩ C, A \ C și C \ A.
2. a) Determină mulțimea M = {n ∈ ℕ | (n + 1) divide (3n + 11)}. b) Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 90, 126 și 150, descompunând numerele în factori primi. c) Determină numerele naturale a și b, cu a < b, știind că (a, b) = 9 și a + b = 72.
3. a) Determină numerele x, y și z, știind că x/3 = y/4 = z/6 și x + y + z = 91. b) Știind că x/y = 3/4, calculează valoarea raportului (2x + 3y)/(5x − 2y). c) Numerele 4 și x sunt invers proporționale cu numerele 15 și 6. Determină x.
4. Efectuează calculele, respectând ordinea operațiilor: a) (−2)⁷ : (−2)⁴ + 3 · (−5) − (−4)² + 20; b) [(−3)³ + 5²]⁴ · (−1)²⁰²⁵ − 2³ · (−3); c) 0,(3) + 1/6 − 0,25.
5. Rezolvă ecuațiile: a) în mulțimea numerelor întregi: 4 · (x − 1) = 2 · (x + 3) + 6; b) în mulțimea numerelor întregi: −2 · |x − 1| + 15 = 7; c) în mulțimea numerelor raționale: x/2 − (x − 1)/3 = 1. Scrie toate etapele rezolvării.
6. a) O bicicletă costa 800 de lei. Prețul ei a crescut cu 20%. Calculează noul preț. După o perioadă, noul preț a scăzut, iar bicicleta a ajuns să coste 912 lei. Calculează cu ce procent s-a micșorat prețul. b) Într-o cutie sunt 7 bile roșii, 5 bile albastre și 8 bile verzi. Se extrage la întâmplare o bilă. Calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră și probabilitatea ca bila extrasă să nu fie roșie.
7. a) Unghiurile AOB, BOC și COA sunt formate în jurul punctului O, astfel încât ∢AOB = 3x + 20°, ∢BOC = 4x și ∢COA = 5x + 40°. Calculează x și măsurile celor trei unghiuri. b) Dacă OM și ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB, respectiv BOC, calculează măsura unghiului MON. c) Două unghiuri sunt adiacente suplementare, iar unul dintre ele are măsura de 124°36'. Calculează măsura celuilalt unghi și măsura unghiului format de bisectoarele lor.
8. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu ∢C = 30° și AB = 5 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și justifică. b) Demonstrează că triunghiul ABM este echilateral și calculează perimetrul lui. c) Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC, calculează lungimea segmentului AG.