Probleme recapitulative: relații metrice în triunghiul dreptunghic, rapoarte trigonometrice și poligoane regulate
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În triunghiul ABC, m(∢BAC) = 90°. Se notează cu D proiecția punctului A pe latura BC, D ∈ BC. Se știe că BD = 9 cm și CD = 16 cm. Calculează: a) lungimea înălțimii AD; b) lungimile catetelor AB și AC; c) aria triunghiului ABC. Scrie rezolvarea completă și precizează teoremele folosite.
2. Triunghiul ABC are m(∢BAC) = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm. Punctul D este proiecția punctului A pe dreapta BC. Calculează: a) lungimea ipotenuzei BC; b) lungimea înălțimii AD; c) lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, BD și CD; d) sin(∢ABC), cos(∢ABC) și tg(∢ACB).
3. În triunghiul dreptunghic ABC, cu m(∢BAC) = 90°, se cunosc AC = 40 cm și sin(∢ACB) = 0,6. Punctul D este piciorul înălțimii din A, D ∈ BC. Calculează: a) cos(∢ACB); b) lungimile segmentelor BC și AB; c) lungimea înălțimii AD; d) lungimile segmentelor BD și CD.
4. Rombul ABCD are perimetrul egal cu 40 cm și m(∢BAD) = 60°. Calculează: a) lungimea laturii rombului; b) lungimile diagonalelor BD și AC; c) aria rombului; d) distanța dintre dreptele paralele AB și CD (înălțimea rombului).
5. Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 20 cm și CD = 8 cm, iar laturile neparalele AD = BC = 10 cm. Calculează: a) înălțimea trapezului; b) aria trapezului; c) lungimea diagonalei AC; d) sin(∢DAB).
6. Un pătrat, un triunghi echilateral și un hexagon regulat sunt înscrise în același cerc C(O, R). Latura hexagonului regulat este l₆ = 8 cm. Calculează: a) raza R a cercului; b) apotema hexagonului a₆; c) latura pătratului l₄ și apotema pătratului a₄; d) latura triunghiului echilateral l₃; e) aria pătratului A₄ și aria hexagonului A₆.
7. O scară cu lungimea de 5 m este sprijinită de un perete vertical. Piciorul scării se află pe sol, la 1,4 m de perete. a) Realizează un desen și modelează situația printr-un triunghi dreptunghic. b) Calculează la ce înălțime atinge scara peretele. c) Calculează sinusul și cosinusul unghiului format de scară cu solul. d) Dacă piciorul scării este îndepărtat până la 3 m de perete, cu câți metri coboară vârful scării pe perete?
8. Fie x măsura unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, cu cos x = 5/13. a) Desenează un triunghi dreptunghic potrivit și calculează sin x. b) Calculează tg x și ctg x. c) Calculează valoarea expresiei E = tg x + ctg x. d) Verifică prin calcul că sin²x + cos²x = 1.