Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale. Reprezentarea punctelor. Distanța dintre două puncte în plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Determinați numerele reale x și y, știind că perechile ordonate (2x − 1, y + 3) și (5, −1) sunt egale. Scrieți și relațiile pe care le folosiți.
2. Se consideră mulțimile A = {−2, 0, 4} și B = {1, 5}. a. Determinați produsele carteziene A × B și B × A. b. Calculați card(A × B) și card(B × A). c. Explicați de ce A × B ≠ B × A.
3. a. Mulțimea A are 7 elemente, iar mulțimea A × B are 42 de elemente. Determinați numărul elementelor mulțimii B și apoi calculați card(B × B). b. Știind că A × B = {(1, −2), (1, 3), (4, −2), (4, 3), (6, −2), (6, 3)}, determinați elementele mulțimilor A și B.
4. a. Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale xOy punctele P(−3, 2), Q(0, −4), R(5, 0), S(−1, −3) și T(2; 1,5). b. Precizați care dintre aceste puncte se află pe axa Ox și care se află pe axa Oy. Justificați folosind coordonatele punctelor. c. Determinați numărul real m pentru care punctul M(2m − 6, m + 1) se află pe axa Oy. Scrieți apoi coordonatele punctului M.
5. Se consideră punctele A(−1, 2), B(5, 10) și C(−1, 10). a. Reprezentați punctele A, B și C într-un sistem de axe ortogonale xOy. b. Calculați distanțele AB, AC și BC. c. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic și precizați vârful unghiului drept. d. Calculați perimetrul și aria triunghiului ABC.
6. Se consideră punctele A(−4, 3) și B(2, −5). a. Determinați coordonatele punctului M, mijlocul segmentului AB. b. Determinați coordonatele punctului A′, simetricul punctului A față de punctul B.
7. Se consideră punctele A(1, −2) și B(x, 2), unde x este un număr real. Determinați valorile lui x pentru care AB = 5.
8. Pe harta unui oraș s-a fixat un sistem de axe ortogonale xOy. Școala se află în originea O, iar o unitate de pe fiecare axă corespunde la 100 m în realitate. Casa Anei se află în punctul A(−3, 4), iar biblioteca se află în punctul B(6, −8). a. Calculați distanța în linie dreaptă, în metri, de la școală la casa Anei și de la școală la bibliotecă. b. Calculați distanța în linie dreaptă, în metri, dintre casa Anei și bibliotecă. c. Verificați dacă școala se află pe segmentul AB, comparând suma OA + OB cu AB.