Proiecții ortogonale pe o dreaptă; teorema înălțimii; teorema catetei
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În triunghiul ABC, m(∢A) = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC. Precizați: a) proiecția punctului A pe dreapta BC; b) proiecția catetei AB pe ipotenuza BC; c) proiecția catetei AC pe ipotenuza BC; d) proiecția catetei AB pe dreapta AC; e) proiecția ipotenuzei BC pe dreapta AB. Justificați fiecare răspuns.
2. Segmentul AB are lungimea de 8 cm, iar dreapta AB face cu dreapta d un unghi de 60°. Punctele A și B se află de aceeași parte a dreptei d. Notăm A' = pr_d A și B' = pr_d B. Realizați un desen și calculați lungimea proiecției segmentului AB pe dreapta d.
3. În triunghiul ABC, m(∢A) = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC, BD = 9 cm și CD = 16 cm. Enunțați teorema înălțimii și aplicați-o pentru a calcula lungimea înălțimii AD. Apoi calculați aria triunghiului ABC.
4. În triunghiul ABC, m(∢A) = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC, BC = 18 cm și BD = 2 cm. Folosind teorema catetei și teorema înălțimii, calculați lungimile segmentelor CD, AB, AC și AD.
5. În triunghiul ABC, AD ⊥ BC, iar punctul D se află pe segmentul BC. Se știe că AB = 15 cm, BD = 9 cm și CD = 16 cm. Stabiliți natura triunghiului ABC în raport cu unghiurile sale. Redactați rezolvarea completă și precizați teorema pe care o folosiți.
6. În dreptunghiul ABCD, BE ⊥ AC, E ∈ AC, AE = 18 cm și EC = 8 cm. Calculați: a) lungimea segmentului BE; b) lungimile laturilor AB și BC; c) perimetrul și aria dreptunghiului ABCD.
7. Trapezul isoscel ABCD are bazele AB ∥ CD, AB = 13 cm și CD = 5 cm. Diagonala AC este perpendiculară pe latura BC. Fie CE ⊥ AB, E ∈ AB. Calculați lungimile segmentelor EB și AE, înălțimea CE a trapezului, aria trapezului și lungimea laturii BC.
8. În triunghiul ABC, m(∢A) = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Demonstrați, folosind teorema catetei, că AB² / AC² = BD / CD. b) Se știe că AB / AC = 3/4 și BC = 50 cm. Calculați BD, CD, AD, AB și AC.