Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A. AD ⊥ BC, cu D ∈ BC, și DE ⊥ AB, cu E ∈ AB. Desenează figura și precizează: a) proiecția punctului D pe dreapta AB; b) proiecția punctului C pe dreapta AB; c) proiecția segmentului AC pe dreapta BC; d) proiecția segmentului BD pe dreapta AB.
2. Se consideră triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Fie AD ⊥ BC, cu D ∈ BC. a) Determină lungimea proiecției laturii AB pe dreapta BC. b) Determină lungimea proiecției laturii AC pe dreapta BC. c) Calculează lungimea înălțimii AD. Justifică fiecare răspuns.
3. În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD este înălțime (D ∈ BC), BD = 3 cm și CD = 12 cm. a) Calculează lungimea înălțimii AD, folosind teorema înălțimii. b) Calculează lungimile catetelor AB și AC, folosind teorema catetei. c) Verifică rezultatele cu teorema lui Pitagora.
4. Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, AD ⊥ BC (D ∈ BC). Cateta AB are lungimea de 12 cm, iar proiecția ei pe ipotenuză are lungimea BD = 8 cm. Determină: a) lungimea ipotenuzei BC; b) lungimea segmentului CD; c) lungimea înălțimii AD; d) lungimea catetei AC.
5. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, în care AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = 12 cm și BD/CD = 9/16. Calculează lungimile segmentelor BD, CD și BC, lungimile catetelor, apoi perimetrul și aria triunghiului ABC.
6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AD ⊥ BC, D ∈ BC. Demonstrează, folosind teorema catetei, că AB²/AC² = BD/CD. Redactează rezoluția complet, cu ipoteză, concluzie și demonstrație.
7. Un teren are forma unui triunghi ABC dreptunghic în A. Din colțul A se construiește o alee dreaptă AD, perpendiculară pe gardul BC (D ∈ BC). Aleea împarte gardul BC în două porțiuni: BD = 3,6 m și DC = 6,4 m. a) Calculează lungimea aleii AD. b) Calculează lungimile laturilor AB și AC ale terenului. c) Câți metri de gard sunt necesari pentru a împrejmui tot terenul?
8. Se consideră dreptunghiul ABCD. Punctul M este proiecția punctului D pe diagonala AC, iar AM = 4 cm și MC = 16 cm. a) Calculează lungimea segmentului DM. b) Determină lungimile laturilor AD și DC ale dreptunghiului. c) Calculează aria și perimetrul dreptunghiului ABCD.