Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie triunghiul ABC, cu m(∢A) = 90°, și AD ⊥ BC, D ∈ BC. Precizați dacă fiecare propoziție este adevărată (A) sau falsă (F). Justificați pe scurt fiecare răspuns. a) Proiecția punctului B pe dreapta AC este punctul A. b) Proiecția segmentului AC pe dreapta AB este punctul A. c) Proiecția segmentului AB pe dreapta BC este segmentul DC. d) Proiecția punctului D pe dreapta BC este punctul D. e) Proiecția segmentului BC pe dreapta AC este segmentul AC.
2. Fie segmentul AB și dreapta d. Notăm cu A′ și B′ proiecțiile punctelor A și B pe dreapta d. a) Dacă AB ∥ d și AB = 10 cm, aflați lungimea segmentului A′B′. b) Dacă AB ⊥ d, ce figură geometrică este proiecția segmentului AB pe dreapta d? c) Proiecția segmentului AB pe dreapta d este segmentul A′B′, cu A′B′ = 14 cm. M este mijlocul segmentului AB, iar M′ este proiecția lui M pe dreapta d. Calculați lungimea segmentului A′M′ și justificați răspunsul.
3. Fie triunghiul ABC, cu m(∢A) = 90°, și AD ⊥ BC, D ∈ BC. Aplicați teorema înălțimii și calculați: a) AD, dacă BD = 3 cm și DC = 12 cm; b) DC, dacă AD = 10 cm și BD = 5 cm; c) AD, dacă BD = 2 cm și DC = 8 cm.
4. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de 30 cm. Lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt direct proporționale cu numerele 1 și 9. Calculați lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză și lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.
5. Se consideră triunghiul MNP, cu m(∢M) = 90°, și MQ ⊥ NP, Q ∈ NP. Ipotenuza are lungimea NP = 26 cm. Lungimile segmentelor NQ și QP sunt invers proporționale cu numerele 0,25 și 0,(1). Determinați lungimile segmentelor NQ, QP și MQ.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 9 cm, AC = 12 cm și BC = 15 cm. AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, D ∈ BC. a) Calculați aria triunghiului ABC. b) Calculați lungimea înălțimii AD. Folosiți calculul ariei triunghiului în două moduri.
7. În triunghiul ABC se construiește înălțimea AD, iar punctul D este situat în interiorul laturii BC. Se știe că AD = 4√3 cm, BD = 6 cm și CD = 8 cm. a) Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în A. Precizați teorema folosită. b) Calculați aria triunghiului ABC.
8. O grădină are forma dreptunghiului ABCD. De-a lungul diagonalei BD este amenajată o alee. Din colțul A pornește o potecă AP, perpendiculară pe alee, cu P ∈ BD. Se știe că BP = 18 m și PD = 8 m. a) Calculați lungimea potecii AP. b) Calculați aria grădinii.