Reciproca teoremei lui Thales
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Enunțați reciproca teoremei lui Thales. Pentru un triunghi ABC și punctele D ∈ AB, E ∈ AC, scrieți ipoteza și concluzia ei în limbaj matematic. Explicați apoi, în 1–2 propoziții, prin ce diferă reciproca de teorema lui Thales (teorema directă).
2. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ AB și N ∈ AC. Se știe că AB = 15 cm, BM = 6 cm și AN/NC = 3/2. Stabiliți poziția dreptelor MN și BC. Justificați răspunsul.
3. În triunghiul ABC se consideră punctele D ∈ AB și E ∈ AC. Se știe că AB = 20 cm, AD = 8 cm, AC = 25 cm și EC = 14 cm. Sunt dreptele DE și BC paralele? Justificați răspunsul. Indicație: puteți folosi teorema lui Thales și raționamentul prin reducere la absurd.
4. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ AB și N ∈ AC. Se știe că MB = 12 cm, AN = 10 cm și NC = 15 cm. Determinați lungimea segmentului AM astfel încât să aibă loc relația AM/MB = AN/NC. Ce puteți spune, în acest caz, despre dreptele MN și BC? Justificați.
5. Pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC se iau punctele D, respectiv E, astfel încât AB = 3 · AD și BC = 3 · CE. Demonstrați că dreptele DE și AC sunt paralele.
6. ABCD este un patrulater convex, iar dreptele AD și BC se intersectează în punctul P, cu A situat între P și D și B situat între P și C. Se știe că PA = 5 cm, AD = 10 cm, PB = 6 cm și BC = 12 cm. Demonstrați că dreptele AB și DC sunt paralele. Precizați ce fel de patrulater este ABCD.
7. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ AB, N ∈ AC și P ∈ BC, astfel încât AM/MB = 1/2, AN/NC = 1/2 și BP/PC = 2. a) Demonstrați că MN ∥ BC. b) Demonstrați că MP ∥ AC. c) Demonstrați că patrulaterul AMPN este paralelogram.
8. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 10 cm și AC = 8 cm. Prelungim latura AB, dincolo de B, cu segmentul BD = 5 cm. Prelungim latura AC, dincolo de C, cu segmentul CE = 4 cm. Demonstrați că dreptele BC și DE sunt paralele. Precizați în ce triunghi aplicați reciproca teoremei lui Thales.