Segmente proporționale în triunghiul dreptunghic: proiecții ortogonale, teorema înălțimii, teorema catetei
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90° și AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Precizează proiecția ortogonală a punctului A pe dreapta BC. b) Precizează proiecțiile catetelor AB și AC pe ipotenuza BC. c) Scrie, cu notațiile din figură, relația dată de teorema înălțimii și cele două relații date de teorema catetei. d) Explică în ce situație proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă este un punct.
2. În triunghiul ABC, ∢A = 90° și AD ⊥ BC, D ∈ BC. Se știe că BD = 4 cm și DC = 9 cm. Calculează lungimea înălțimii AD. Precizează teorema pe care ai folosit-o.
3. În triunghiul dreptunghic ABC, cu ∢A = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC, ipotenuza are BC = 25 cm, iar BD = 9 cm. Calculează lungimea segmentului DC și lungimile catetelor AB și AC, folosind teorema catetei.
4. Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC, AB = 6 cm și BC = 12 cm. Calculează lungimile segmentelor BD, DC, AD și AC.
5. În triunghiul ABC, ∢A = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC. Înălțimea AD are 12 cm, iar BD = 8 cm. Determină lungimile segmentelor DC și BC, apoi lungimile catetelor AB și AC. Scrie rezultatele sub formă de radicali simplificați.
6. În triunghiul ABC, unghiurile B și C sunt ascuțite. Punctul D aparține laturii BC, AD ⊥ BC, BD = 2 cm, DC = 8 cm și AD = 4 cm. Demonstrează că triunghiul ABC este dreptunghic în A. Precizează teorema folosită și redactează complet raționamentul.
7. În dreptunghiul ABCD se duce AE ⊥ BD, cu E ∈ BD. Se știe că DE = 4 cm și BE = 12 cm. a) Explică de ce triunghiul ABD este dreptunghic și precizează ce reprezintă AE în acest triunghi. b) Calculează lungimile segmentelor AE, AD și AB. c) Calculează aria dreptunghiului ABCD.
8. Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90° și AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Folosind teorema catetei, demonstrează că AB² / AC² = BD / DC. b) Dacă AB / AC = 2 / 3 și BC = 26 cm, calculează lungimile segmentelor BD și DC și lungimea înălțimii AD.